En este artículo vamos a ver qué son los operadores lógicos y el algebra de Boole. Son nociones intuitivas que la mayoría de la gente con o sin estudios conoce, aunque muchos no saben que se llama así. Desafortunadamente no se estudian ni en primaria ni en segundaría cuando en realidad son conocimientos útiles para la vida. Al menos son mas útiles que saber lo que es un polinomio o una ecuación de segundo grado.

Tener estos conceptos claros ayudará mucho para seguir estudiando matemáticas.

Los operadores lógicos permiten construir una proposición a partir de otra(s). Todos usamos a diario los operadores lógicos aunque alguno no sepamos que se llaman así. Los tres mas conocidos son " Y ", " O ", y " NO". Pero también hay otros menos conocidos como “O exclusivo”, "Implica" o "Equivale". Supongamos que tenemos dos proposiciones (hay un artículo sobre proposiciones en el apartado "Lógica matemática"). Por ejemplo las proposiciones:

P₁: Me voy de vacaciones a la playa

P₂: Me voy de vacaciones a la montaña

Operadores Y, O, NO.

   

A partir de P_1, P₂ y el operador "Y" podemos construir la proposición P₃ : "Me voy de vacaciones a la playa Y me voy de vacaciones a la montaña". Dependiendo de donde decida ir de vacaciones, P₁ y P₂ pueden ser verdad o falsa. La proposición P₃ será verdad únicamente cuando tanto P₁ como P₂ serán verdaderas. Por lo tanto si estudiamos todos los casos posibles de P₁ y P₂ obtenemos la tabla siguiente:

A partir de P₁, podemos construir la proposición “P₁ NO es verdadera”, es decir “No me voy de vacaciones a la playa”. NO P₁ se suele escribir de muchas formas, la que usaremos en este artículo es : P₁ .

Propiedades de estos operadores:

“+” y “.” son leyes de composición sobre el conjunto {0,1} y cumplen una serie de propiedades algunas de las cuales que se enumeran a continuación. Cada una de estas propiedades puede ser demostrada muy facilmente. Basta con escribir una tabla con todos los valores posibles de las proposiciones que intervienen.

Por ejemplo, para demostrar que a.(b+c)=a.b+a.c donde a, b y c son tres proposiciones, escribimos la tabla:

Y comprobamos simplemente que las columnas quinta y octava son identicas.

Entre las propiedades mas destacables tenemos:

Asociatividad:

(a+b)+c = a+(b+c) y por lo tanto podemos escribir: a+b+c

(a.b).c=a.(b.c) que escribimos a.b.c

Conmutatividad:

Decir que “Me voy a la playa o a la montaña” es lo mismo que “Me voy a la montaña o a la playa”.

a+b=b+a

a.b=b.a

Distributividad:

a.(b+c)=a.b+a.c

a+(b.c)=(a+b).(a+c)

Observen que a diferencia de cuando se trabaja con números, los operadores “+” y “.” tienen papeles totalmente simétricos. La segunda ley de distributividad es igual a la primera intercambiando “+” con “.”. No pasa esto con la adición y la multiplicación !

También resulta que:

\[\overline{\overline{a}}=a\]

Es decir que una doble negación es una afirmación. Si miento diciendo que no voy a la playa... es que voy!

Teoremas de De Morgan:

Lo que se ha escrito en este artículo hasta aquí es bastante trivial. No hace falta algebra de Boole para saber que iré a la playa si he mentido diciendo que no voy a ir.

A cambio lo que sigue no es tan trivial y puede llegar a ser útil en determinadas ocasiones en la vida real. Y es que si miento diciendo que voy a la playa Y a la montaña... significa esto que no voy a la playa O no voy a la montaña. Por otra parte, si miento diciendo que voy a la playa O a la montaña... significa esto que no voy a la playa Y no voy a la montaña.

En la primera frase, lo que digo es que:

\[\overline{a.b}=\overline{a}+\overline{b}\]

Y en la segunda:

\[\overline{a+b}=\overline{a}.\overline{b}\]

¿Demostración? Ya saben, basta con escribir una tabla con todos los casos:

Comprobamos que las columnas azules son iguales, y las verdes también.

Otros operadores de interés:

Existe también el operador XOR, del inglés “eXclusive OR”. La proposición P₁ XOR P₂ será verdadera si P₁ es verdadera o P₂ es verdadera pero no lo será si ambas lo son. La tabla que le corresponde es:

Nota sobre XOR:

Al igual que los demás operadores lógicos, el operador XOR es muy usado en informática, programación de automatas y electrónica. Por ejemplo permite encryptar un mensaje de forma totalmente indecryptable: Juan genera una serie de 0 y 1 de forma aleatoria y lo llama “clave de encryptación”. Pongamos que le ha salido “01001101”. Comparte su clave con Alicia. Al día siguiente le quiere enviar un mensaje importante y secreto, supongamos que dicho mensaje es “11001011”. Empieza con calcular “clave XOR mensaje” posición por posición y lo llama “mensaje codificado”. En este caso, el mensaje codificado es 01001101 XOR 11001011 = 10000110. Juan envia este mensaje codificado a Alicia por cualquier medio sin importarle quién este escuchando. Alicia conoce la clave y sabe que un “1” en el mensaje codificado significa que en esta posición el mensaje secreto es distinto del mensaje codificado mientras que un “0” significa que en esta posición son iguales. A partir de allí recuperará facilmente el mensaje secreto. Podemos observar que la técnica es totalmente indecifrable pues al fin y al cabo el mensaje codificado es tan aleatorio como la clave secreta, es decir que 10000110 puede ser una amenaza de muerte o una declaración de amor según lo que haya salido cuando se ha generado la clave aleatoria.

Este metodo de encryptación practicamente no se usa porque tiene una desventaja grande: la clave de encryptación es tan larga como el propio mensaje.

Otros operadores muy usados en matemáticas son “Implica” y “Equivale”. Ambos son operadores lógicos como cualquier otro.

“Implica” se escribe “=>” y se define a partir de la tabla:

Cuidado que existe confusión ya que hay publicaciones y ciertos profesores que usan el símbolo “=>” como abreviación de “por lo tanto”. A modo de ejemplo, no se puede escribir que:

París es la capital de España, por lo tanto los burros tienen alas.

No obstante sí se puede escribir:

París es la capital de España => Los burros tienen alas

Está última proposición tiene pleno sentido matemático y además resulta ser verdadera. Si se acostumbra a usar el símbolo “=>” como abreviación de “por lo tanto”, vamos a dar por sentado que P₁ => P₂ significa que tanto P₁ como P₂ son verdaderas lo cual evidentemente no es cierto. Algunos argumentaran que usan “=>” como abreviación de "implica que", pero si cada línea es consecuencia de la anterior, sin duda lo que quieren decir es "por lo tanto". Más aún “=>” no es asociativo con lo que rigurosamente no se debería escribir "P₁=>P₂ =>P₃".

Si se usa esta desafortunada abreviación, cuando un alumno se enfrentará por primera vez a la definición de una función real creciente:

\[\forall (x_{1},x_{2})\in \mathbb{R}^{2},\;\;\; x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})\]

Va a pensar que x₁ es inferior a x₂ y por lo tanto que f(x₁) es inferior a f(x₂) lo cual no tiene sentido.

La lengua de cervantes, además de la belleza de sus sutilidades, es una herramienta fenomenal para hacer matemáticas. Si queremos decir “por lo tanto” escribamos “por lo tanto” o “luego”, o “así que”. Practicamente se tarda lo mismo, es exacto, y mucho mas entendible. Eventualmente, si el tiempo apremia, sería también válido no poner nada.

Otra cosa destacable es observar que una proposición falsa implica cualquier proposición (falsa o verdadera). Es importante tenerlo en cuenta. Si hemos usado una hipotesis y llegamos, por ejemplo a “0=0”, no podemos concluir absolutamente nada sobre la veracidad de la hipótesis, esto no es una forma de demostrar algo.

Otro operador entre proposiciones es “Equivale”. Al igual que “Implica” se trata de un operador lógico como cualquier otro, se representa con “<=>” y su tabla es:

Otra forma de decir que P₁ <=> P₂ es “P₁ si y solo si P₂”. Recuerda bien este “si y solo si” es importante entenderlo bien, significa lo mismo que “equivale a”. Significa que P₁ y P₂ dicen exactamente lo mismo, P₂ es otra forma de decir P₁, un poco como si P₂ fuera la traducción de P₁ a otro idioma.

Por ejemplo, “Una cadena está rota si y solo si al menos uno de sus eslabones está roto”. Supongamos que tenemos tres eslabones que numeramos 1, 2 y 3 formando una pequeña cadena. Suspendemos la cadena del techo y pretendemos colgar una masa de 1 Kg. Podemos escribir:

\[La\:masa\:se\:cae\:al\:suelo\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}Se\:rompe\:el\:primer\:eslabón\\o\\Se\:rompe\:el\:segundo\:eslabón\\o\\Se\:rompe\:el\:tercer\:eslabón\end{matrix}\right.\]

Y esto pasa lógicamente con cualquier número de eslabones. Estamos diciendo dos cosas con el “si y solo si”. Primero, que si veo la masa en el suelo, es que al menos un eslabón se ha roto, y segundo que si veo uno de los eslabones roto, es que la masa estará en el suelo.

Otro ejemplo (¡Muy importante¡) es: “Un producto de factores es nulo si y solo si al menos uno de los factores es nulo”:

Sean a, b, c tres reales, tenemos:

\[a.b.c=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=0\\o\\b=0\\o\\c=0\end{matrix}\right.\]

Y esto pasa lógicamente con cualquier número de eslabones perdón... factores. Si veo un producto de factores nulos, es que al menos uno de ellos es nulo, y al revés, si veo que uno de los factores es nulo, ya puedo decir que el producto es nulo. Esto es de mucha ayuda cuando se pretende resolver una ecuación. Si la ecuación se presenta con la forma de una expresión nula, basta con factorizar la expresión y si lo logramos tendremos un producto de factores nulo, por lo tanto basta escribir que al menos uno de ellos es nulo para encontrar las soluciones de la ecuación. Es por ejemplo lo que se hace con las ecuaciones de segundo grado (también llamadas “cuadráticas”). Al fin y al cabo cuando se calcula el discriminante y las posibles soluciones, intentamos factorizar un polinomio de segundo grado.

Al igual que “=>”, “<=>” es también es un operador maltratado por algunos “matemáticos” que lo usan como abreviación.

No por ser un error muy común, deja de ser un error el hecho de usar estos operadores como abreviación de otra cosa.