\(P\) es un recubrimiento de \(E\) si y solo si la unión de todos sus elementos es \(E\), es decir:
\[P\;es\;un\;recubrimiento\;de\;E\;\;\Leftrightarrow\;\; \bigcup_{i\in I}S_{i}=E\]Dicho de otra forma, \(P\) es un recubrimiento de \(E\) si y solo si para cualquier elemento de \(E\) existe un elemento \(S\) de \(P\) que contiene dicho elemento:
\[P\;es\;un\;recubrimiento\;de\;E\;\;\Leftrightarrow\;\; \forall x\in E,\;\exists S\in P\;/\;x\in S\]
Por ejemplo, si \(E=\{A,B,C,D,E,F\}\), \(P_{1}=\{\{A,B,C,D\},\{C,D,E\},\{A,E,F\}\}\) es un recubrimiento de \(E\), pero \(P_{2}=\{\{A,B,C\},\{C,E\},\{A,E,F\}\}\) no lo es porque ningún elemento de \(P_{2}\) contiene el elemento \(D\).
A la izquierda, los elementos "U", "2" y "3" no pertenecen a niguno de los subconjutos y por lo tanto no estamos ante un recubrimiento.
En cambio a la derecha sí estamos ante un recubrimiento.
Una partición es un recubrimiento que tiene la particularidad de que ninguno de sus elementos es el conjunto vacio, y sus elementos son todos disjuntos dos a dos, es decir que la intersección entre sí de cualquier par de elementos del recubrimiento es el conjunto vacio salvo evidentemente que cojamos dos veces el mismo elemento:
\[P=\left\{S_{i}\right\}_{i\in I}\;es\;una\;partición\;de\;E\;\;\Leftrightarrow\;\;\left\{\begin{align*}&\bigcup_{i\in I}S_{i}=E\\&\forall i\in I,\;\;S_{i}\neq \emptyset\\&\forall(i,j)\in I^{2},\;i\neq j \Rightarrow S_{i} \cap S_{j}=\emptyset\end{align*}\right. \]
Como su nombre lo indica, tener una partición \(P\) de un conjunto \(E\) es establecer una "división" del conjunto \(E\) en uno o varios subconjuntos que no se solapan. Es como partir un queso.
Las particiones estan intimamente ligadas a las relaciones de equivalencia. Dada una relación \(R\) de equivalencia, para todo \(x\in E\) se define el conjunto \(\dot{x}=\{y\in E/xRy\}\) llamado "clase de equivalencia de \(x\)" y \(x\) se llama "representante" de la clase de equivalencia \(\dot{x}\). Cuando dos elementos de \(E\) pertenecen a la misma clase de equivalencia, es decir, cuando se cumple la relación \(R\) para dichos elementos, se dice de ellos que son "congruentes".
Resulta que las clases de equivalencia de una relación de equivalencia \(R\) forman una partición de \(E\). Así, a toda relación de equivalencia sobre un conjunto \(E\) le corresponde una partición de \(E\) (y una sola) y a la inversa, a toda partición de \(E\) le corresponde una relación de equivalencia sobre \(E\) (y una sola). Por lo tanto existe equivalencia (valga la redundancia) entre tener una partición de \(E\) y tener una relación de equivalencia sobre \(E\).
Demostración:
1. Supongamos que tenemos una partición \(P=\left\{S_{i}\right\}_{i\in I}\) de \(E\). Definimos la relación \(R\) sobre \(E\) de forma que dos elementos cualesquiera de \(E\) están en relación si y solo si pertenecen a la misma clase, es decir:
\[\forall (x,y)\in E^{2},\;\;x R y\;\Leftrightarrow\;\exists i\in I/x\in S_{i}, y\in S_{i} \]
La relación así definida es:
- Reflexiva porque para cualquier elemento \(x\in E\), al ser \(P\) un recubrimiento de \(E\), existe \(i\in I / x\in S_{i}\) y se deduce de la definición de \(R\) que \(x R x\),
- Simétrica porque para todo \((x,y)\in E^2\), si \(x R y\) entonces existe \(i\in I\) tal que \(x\in S_{i}, y\in S_{i}\), lo que viene a decir que también \(y R x\).
- Transitiva porque para todo \((x,y,z)\in E^3\), si \(x R y\) y \(y R z\) entonces existe \(i\in I\) tal que \(x\in S_{i}, y\in S_{i}\) y existe \(j\in I\) tal que \(y\in S_{j}, z\in S_{j}\). Por lo tanto \(y\) pertenece tanto a \(S_{i}\) como a \(S_{j}\). Como los elementos de \(P\) son dos a dos disjuntos esto es solamente posible si \(i=j\), es decir que \(S_{i}\) y \(S_{j}\) son la misma clase. Por lo tanto hemos encontrado \(i\in I / x\in S_{i}, z\in S_{i}\) lo que viene a decir según la definición de \(R\) que \(x R z\).
Por lo tanto la relación \(R\) es una relación de equivalencia establecida de forma única a partir de la partición \(P\).
2. Supongamos ahora que tenemos una relación de equivalencia \(R\) sobre un conjunto \(E\). Llamamos \(P\) al conjunto de las clases de equivalencias de \(R\).
- Puesto que \(R\) es reflexiva, \(P\) es un recubrimiento de \(E\). En efecto, cualquier elemento \(x\) de \(E\) pertenece a una clase de equivalencia por \(R\) (cuya expresión mínima sería \(\{x\}\)).
- También porque \(R\) es reflexiva, observamos que \(\dot{x}=\{y\in E/xRy\}\) contiene al menos \(x\) y por lo tanto ningúna clase de equivalencia es el conjunto vacio.
- Queda por lo tanto demostrar que si la intersección de dos elementos de \(P\) no es vacía entonces se trata de la intersección de un mismo elemento con sí mismo. Supongamos dos elementos \(S_{i}\) y \(S_{j}\) de \(P\) tales que \(S_{i}\cap S_{j} \neq \emptyset\). Luego existe \(y\in E/ y\in S_{i}, y\in S_{j}\). Sea \((x,z)\in S_{i}\times S_{j}\), \(x\) e \(y\) pertenecen a la misma clase por lo tanto \(xRy\), de la misma forma obtenemos \(zRy\). Puesto que \(R\) es simétrica obtenemos \(yRz\). Tenemos \(xRy\) y \(yRz\). Puesto que \(R\) es transitiva obtenemos \(xRz\). Cogiendo dos elementos cualesquiera de las clases \(S_{i}\) y \(S_{j}\) observamos que estos elementos pertenecen a la misma clase con lo que podemos deducir que \(S_{i}=S_{j}\).
Por lo tanto la las clases de equivalencia de \(R\) forman una partición de \(E\).
En esta demostración he destacado en color rojo el uso de las hipótesis. Podemos observar que para demostrar que \(R\) es una relación de equivalencia, en ningún momento se usa el hecho de que \(P\) no contiene el conjunto vacio y de hecho no es necesario. Basta con disponer de un recubrimiento cuyos elementos son dos a dos disjuntos para poder definir una relación de equivalencia \(R\). Sigue habiendo unicidad de la partición porque dicho recubrimiento no sería una partición.
Así pues, una vez tengamos sobre un conjunto \(E\) definido una relación de equivalencia \(R\), tenemos una partición de \(E\) y dicha partición se nota \(E_{/R}\) y se denomina cociente de \(E\) por la relación \(R\).
Cuando \(E\) está dotado de una determinada estructura, es decir cuando tiene leyes de composición internas o externas, lo interesante es lograr trasladar dichas leyes a un conjunto cociente. Por ejemplo, es lo que se hace para definir el conjunto de los enteros \(\mathbb{Z}\), los racionales \(\mathbb{Q}\), los reales \(\mathbb{R}\) y otros muchos conjuntos (Para los complejos \(\mathbb{C}\) el proceso es muy similar a lo que se describe a continuación aunque no es necesario cocientar).
Vamos a suponer que sobre el conjunto de objetos matemáticos \(E\) hemos definido determinada leyes internas o externas. Por ejemplo, E podría ser los naturales \(\mathbb{N}\) con las leyes usuales de adición y multiplicación. También podría ser las matrices cuadradas de dimensión n a coeficientes en \(\mathbb{R}\) con las leyes usuales de adición y multiplicación matricial. \(E\) podría ser un espacio vectorial con leyes de adición y producto externo y un largo ect.
Supongamos por ejemplo que \(E\) está dotado de las leyes \(\oplus\) y \(\otimes\). Opto por llamar usar los símbolos "\(\oplus\)" y "\(\otimes\)" en vez de los habituales "\(+\)" y "\(.\)" porque deseo destacar que no necesariamente hablo de la suma y la multiplicación entre los reales.
\[\begin{matrix}\oplus: & E^{2} & \rightarrow & E\\&(x,y) & \mapsto &x\oplus y\end{matrix}\]
\[\begin{matrix}\otimes: & E^{2} & \rightarrow & E\\&(x,y) & \mapsto &x\otimes y\end{matrix}\]
Las leyes \(\oplus\) y \(\otimes\) y otras internas o externas que se puedan definir tendrán en su caso determinadas propiedades tales como la existencia de elemento neutro, la conmutatividad, la asociatividad, distributividad una respecto a la otra etc. que hacen que \(E\) tiene un estructura de grupo, anillo, espacio vectorial, cuerpo etc.
El proceso pretende ampliar el conjunto \(E\) (para pasar de \(\mathbb{N}\) a \(\mathbb{Z}\) por ejemplo). En estos casos, empezamos por ampliar brutalmente \(E\) con un producto cartesiano sobre sí mismo: \(F=E^2\) o eventualmente un producto cartesiano entre \(E\) y \(E' \subset E\). Pero esta operación es a veces una exageración y es necesario "cocientar" el resultado \(F\) con una relación de equivalencia que va a agrupar elementos de \(F\) entre sí. Luego se busca volver a definir las leyes \(\dot{\oplus}\) y \(\dot{\otimes}\) que operan sobre el conjunto cociente\(F_{/R}\) de la misma forma que operan \(\oplus\) y \(\otimes\) sobre \(E\).
\[\begin{matrix}\dot{\oplus}: & (F_{/R})^{2} & \rightarrow & F_{/R}\\&(\dot{x},\dot{y}) & \mapsto &\dot{x}\dot{\oplus} \dot{y}\end{matrix}\]
\[\begin{matrix}\dot{\otimes}: & (F_{/R})^{2} & \rightarrow & F_{/R}\\&(\dot{x},\dot{y}) & \mapsto &\dot{x}\dot{\otimes} \dot{y}\end{matrix}\]
A la derecha se representa gráficamente una definición de \(\dot{\oplus}\) en la que simplemente se ha establecido que \(\dot{x}\dot{\oplus} \dot{y}=\dot{\overline{x \oplus y}}\), lo cual es bastante habitual si en vez de buscar ampliar \(E\) con \(F=E^{2}\) se ha escrito simplemente \(F=E\) (Ver primeros dos ejemplos abajo). Lógicamente es necesario comprobar que el resultado no depende de los representantes elegidos es decir que por ejemplo si hubieramos elegido "\(J\)" y "\(9\)" en vez de "\(K\)" y "\(\%\)", tendríamos por decir algo \(J \oplus 9=U\) y por lo tanto \(\dot{K} \dot{\oplus} \dot{\%} = \dot{J} \dot{\oplus} \dot{9} = \dot{U}=\dot{V}\).
Finalmente se establece una inyección entre \(E\) y \(F\) que a todo \(x\in E\) asocia \({x}' \in F\). Esta inyección no es sobreyectiva porque normalmente pretendemos ampliar \(E\) asimilándolo a \(F_{/R}\). Se comprueba la compatibilidad de las leyes en los conjuntos \(E\) y \(F_{/R}\) es decir que se comprueba por ejemplo que si tenemos \((x,y,z)\in E^{3}\) con \(z=x\oplus y\) tambien tendremos \(\dot{{z}'}=\dot{{x}'} \dot{\oplus} \dot{{y}'}\). Una vez las compatibilidades de este tipo se han comprobado para todas las leyes, ya no existe motivo por el que escribir "\(\dot{\oplus}\)", el cual podemos escribir "\(\oplus\)". Cuando ahora escribimos "\(x\oplus y\)", si resulta que tanto \(x\) como \(y\) pertenecen a \(E\) seguimos operandolos como siempre lo hemos hecho. Pero y si uno de los dos o ambos pertenece(n) a \(F_{/R}\) entenderemos que debemos operar en \(F_{/R}\) con la ley de composición \(\dot{\oplus}\) sustituyendo \(x\) por \(\dot{{x}'}\) y/o \(y\) por \(\dot{{y}'}\) según proceda.
Para quién no se percata del proceso de construcción usado, los elementos de \(F_{/R}\) cuyos representantes (en \(F\)) no tienen antecedentes por la inyección entre \(E\) y \(F\) aparecen como objetos nuevos salidos de la nada que vienen a completar nuestro conjunto \(E\) demasiado pequeño y se comportan muy bien con todo el mundo. Así aparecen los numeros negativos, los racionales, los reales y en cierta medida el famoso imaginario "i" de los complejos.
Ejemplo 1: Congruencia de enteros modulo \(n\)