El objeto de esta sección no es tanto practicar la resolución de ecuaciones sino explicar exactamente lo que es una ecuación o un sistema de ecuaciones y dar alguna pauta general de resolución . He observado que habitualmente cuando un alumno de bachiller se bloquea ante una ecuación es simplemente debido a que no se ha percatado de que se encuentra ante una ecuación y que lo que debe hacer es resolverla.
Supongamos que tenemos un conjunto \(E\). Escribir una ecuación en \(E\) es escribir una condición sobre un elemento de \(E\). Y resolver la ecuación en \(E\) es hallar todos los elementos de \(E\) que cumplen dicha condición.
Vamos con ejemplos, Juan y David tienen 15 años, Jose y Lea tienen 16, Maria tiene 17.
Una ecuación sobre el conjunto \(E=\{Juan,\,David,\,Jose,\,Lea,\,Maria\}\) sería "Tiene 16 años". Resolver la ecuación "Tiene 16 años" en \(E\) consiste en dar los elementos de \(E\) que tienen 16 años, es decir que es escribir que el conjunto de soluciones es \(\{Jose,\,Lea\}\).
Llamamos variable un elemento cualquiera de \(E\) y lo notamos (generalmente) "\(x\)". Así la ecuación "Tiene 16 años" se escribe un poco mejor haciendo uso de la variable: "\(x\) tiene 16 años".
Cuanto mas restrictiva es la condición que se enuncia sobre \(x\), menos soluciones tendremos. Cuanto menos restrictiva, mas soluciones. Por ejemplo, la condición "Tiene 16 o 17 años" es menos restrictiva que "Tiene 16 años", por lo tanto encontraremos al menos las mismas soluciones y posiblemente encontremos mas. En este caso, el conjunto de soluciones de la ecuación "Tiene 16 o 17 años" en \(E\) es \(\{Jose,\,Lea,\,Maria\}\).
La ecuación "Tiene 18 años" en \(E\) no tiene solución, el conjunto de las soluciones es el conjunto vacio: \(\emptyset\).
Aquí conviene hacer hincapié en lo que significa la palabra "resolver" en matemáticas, ya que su significado es distinto de lo que se entiende habitualmente por "resolver".
En la vida "de todos los días" por decirlo de algún modo, "resolver" un problema es encontrar una solución. Si un país tiene tiene como problema una inflación excesiva, puede subir los tipos de interés y el problema queda "resuelto". Pero tal vez no era la única solución. Si debo ir al dentista a las 15H y he quedado con mi mujer a la misma hora, salvo que mi mujer vaya también al dentista (o que mi mujer sea dentista), el problema no tiene solución y decimos que no ha quedado "resuelto". Pues bien, en matemáticas daríamos el primer problema como no resuelto y el segundo como resuelto (justo lo contrario). En efecto, en matemáticas no basta con dar una solución, hay que dar todas las soluciones y demostrar que no hay mas que esas. Si la ecuación es \(x^{2}=4\) en \(\mathbb{R}\), hay que dar todas las soluciones: \(x \in \{-2,2\}\). No es suficiente con enumerar una o varias soluciones válidas (\(x=2\)). Hay mas, tampoco es necesario dar soluciones, bastaría con demostrar que no existen y también se daría el problema como "resuelto".
En ocasiones, la condición que se enuncia se compone de varias condiciones asambladas por un operador lógico como "y" o "o". En este caso se habla de un sistema de ecuaciones. Por ejemplo nos podemos proponer resolver en \(E\) el sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{aligned} & x\,tiene\,16\,años \\ &y \\ &x\,es\,una\,chica\end{aligned}\right.\]
El cual admite la única solución "Lea".
Normalmente, cuando no se especifica el operador lógico entre las condiciones, se sobre-entiende que se trata del operador "\(y\)", es decir que las soluciones deberan cumplir todas las condiciones.
De la misma manera que se ha dado una condición sobre las personas, podríamos dar una condición sobre números reales. Por ejemplo "Restando 3 a su doble da 7" es una ecuación sobre los reales \(\mathbb{R}\). Esta ecuación se puede escribir de forma un poco mas formal utilizando una variable \(x \in \mathbb{R}\) de la siguiente forma:
\[2x-3=7\]
La resolución de esta ecuación produce una única solución que es \(5\). Por lo tanto el conjunto de soluciones en \(\mathbb{R}\) de la ecuación es \(\{5\}\) y esto se suele escribir con \(x=5\).
Es importante destacar que cuando se afirma que el conjunto de soluciones de \(2x-3=7\) es \(\{5\}\) decimos dos cosas. Lo primero es que \(5\) es solución. Lo segundo es que no hay otra solución, es decir que un real que cumpla la ecuación ha de ser \(5\). Por lo tanto hay equivalencia entre decir "\(2x-3=7\)" y decir " \(x=5\)".
Cuando se trabaja con reales, no siempre la condición se enuncia con el simbolo "\(=\)". En ocasiones se pueden usar los símbolos "\(<,>,\leq,\geq\)" en este caso la ecuación o el sistema de ecuaciones recibe el nombre desafortunado de "inecuación" o sistema de "inecuaciones". Cuando se trabaja con sistemas de "inecuaciones" hay que tener mas que nunca presente el operador que opera las condiciones enunciadas:
\(\left\{\begin{aligned} & x\geq 0 \\ &x\leq 1 \end{aligned}\right.\) Tiene como conjunto de soluciones: \([0,1]\).
Pero
\(\left\{\begin{aligned} & x\leq 0 \\ &x\geq 1 \end{aligned}\right.\) Tiene como conjunto de soluciones: \(\emptyset\) porque ningún real es a la vez inferior a 0 y superior a 1 (¡Nada de \(]-\infty,0] \cup [1,+\infty[\) !).
Recomiendo al lector que no lo haya hecho leer mi artículo sobre operadores lógicos y algebra de Boole para el significado exacto de "equivale" e "implica".
Resolviendo por implicación
Si resolvemos una ecuación razonando por implicación, es probable que vayamos escribiendo condiciones cada vez menos restrictivas sobre la variable con lo cual encontramos mas soluciones que las realmente cumplen la condición inicial. Por ejemplo, para un elemento de E, escribir "Tiene 16 años" implica "Tiene 16 o 17 años". Razonando por implicación podríamos encontrar como conjunto de soluciones \(\{Jose,\,Lea,\,Maria\}\) y es necesario ir comprobando si cada una de estas supuestas soluciones cumplen verdaderamente la ecuación "Tiene 16 años" y logicamente descartaremos a Maria. Por este motivo cuando se razona por implicación en la resolución de una ecuación, hay que comprobar las soluciones. Veamos un ejemplo con números (reales), nos proponemos resolver en \(\mathbb{R}\) la ecuación \(\sqrt{2x+5}=x+1\) y lo vamos a hacer por implicación.
Supongamos que para un real \(x \in \mathbb{R}\) tenemos: \(\sqrt{2x+5}=x+1 \).
Si dos reales son iguales, con mas motivo seran iguales sus cuadrados, por lo tanto: \((\sqrt{2x+5})^{2}=(x+1)^{2}\)
Simplificando y distribuyendo, obtenemos: \( 2x+5=x^{2}+2x+1\)
Llevamos los términos del mismo lado del signo "\(=\)" restanto \(2x+5\) a ambos lados: \(x^{2}-4=0\)
Ya es muy sencillo y podríamos concluir. Pero lo mas adecuado seria factorizar el primer término:\((x-2)(x+2)=0\)
Y decir que un producto de factores es nulo, entonces al menos uno de los factores es nulo: \(x=2\) o \(x=-2\)
Aparentemente encontramos dos soluciones: 2 y -2 pero en realidad estamos diciendo que SI \(\sqrt{2x+5}=x+1 \) ENTONCES \(x=2\) o \(x=-2\). Nadie ha dicho que 2 y -2 son soluciones (ni siquiera uno de ellos), solo que no puede haber soluciones que no sean 2 y -2. Esto significa que hemos de averiguar si 2 y -2 son o no solución para conlcuir sobre la resolución de la ecuación. Observamos 2 es solución y que -2 no es solución de la ecuación con lo cual hay que quedarse simplemente con 2.
Resolviendo por equivalencia
Es mas riguroso razonar siempre por equivalencia para resolver ecuaciones. En ocasiones es incluso necesario, imaginense que razonando por implicaciones damos con un conjunto infinito de candidatos a soluciones... ¡No podríamos comprobarlos todos! Razonando por equivalencia no es necesario comprobar las soluciones. Haganlo de todos modos siempre que sea posible para comprobar que no se han equivocado pero no para descartar soluciones. En el ejercicio anterior la solución parasita "-2" ha aparecido cuando elevamos al cuadrado en el primer paso. En este paso perdemos la equivalencia porque si es cierto que dos números iguales tienen el mismo cuadrado, no es cierto que si los cuadrados de dos números son iguales, los números son iguales: \(1^{2}=(-1)^{2}\), pero \(1\neq-1\).
Así \(a=b\;\Rightarrow\;a^{2}=b^{2}\) pero de \(a^{2}=b^{2}\) no puedo deducir que \(a=b\). De algún modo en el primer paso hemos pasado de "Tiene 16 años" a "Tiene 16 o 17 años" y a partir de allí nos está sobrando la solución "Maria" (que es -2). Para mantener toda la información que contiene \(\sqrt{2x+5}=x+1\) sin irse a algo menos restrictivo que da soluciones parasitas, hay que escribir que los cuadrados son iguales y además los signos son los mismos. Como \(\sqrt{2x+5}\) es siempre positivo o nulo, hay que escribir que \(x+1 \geq 0\), es decir \(x \geq -1\):
\[ \begin{aligned} \sqrt{2x+5}=x+1 & \Leftrightarrow \; \left\{\begin{aligned} & (\sqrt{2x+5})^{2}=(x+1)^{2} \\ &x \geq -1 \end{aligned}\right. \end{aligned} \]
Ahora vamos a escribir que \((\sqrt{2x+5})^{2}=2x+5\) lo cual es siempre cierto pero no hay que perder de vista que al escribir "\(\sqrt{2x+5}\)" estoy diciendo que "\(2x+5 \geq 0\)" porque sino la raíz no estaría definida. Por lo tanto, hay que mantener ahora la información "\(2x+5 \geq 0\)", es decir "\(x \geq -5/2\)":
\[ \begin{aligned} & \Leftrightarrow \; \left\{\begin{aligned} & 2x+5=x^{2}+2x+1 \\ &x \geq -1 \\ & x \geq -5/2 \end{aligned}\right. \end{aligned} \]
Puesto que \(-1 \geq -2/5\) la última condición sobra y obtenemos finalmente:
\[ \begin{aligned} & \Leftrightarrow \; \left\{\begin{aligned} & x^{2}-4=0 \\ & x \geq -1 \end{aligned}\right. \\ & \Leftrightarrow \; \left\{\begin{aligned} & x=-2\;o\;x=2 \\ &x\geq -1 \end{aligned}\right. \\ & \Leftrightarrow \; x=2 \end{aligned} \]
Hemos visto ejemplos de ecuaciones sobre \(E=\{Juan,\,David,\,Jose,\,Lea,\,Maria\}\) y sobre \(\mathbb{R}\), es decir que hemos manejado personas y números. Pero hay otros muchos ejemplos:
- Ecuaciones sobre \(\mathbb{R}^{2}\) en la que las soluciones son pares de números \(x,y\). Por ejemplo: buscar dos números cuya suma es 5 y cuyo producto es 6 nos lleva al sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{aligned} & x+y=5 \\ &xy=6 \end{aligned}\right.\] cuyo conjunto de soluciones es: \(\{(2,3),(3,2)\}\), es decir \(x=2\) e \(y=3\) y viceversa.
- Ecuaciones en la que la variable es una función y la condición que se enuncia relaciona dicha función con sus derivadas succesivas (se relaciona la función con su forma de variar). Por ejemplo, buscar una función real de una variable real cuyo valor en todo punto de \(\mathbb{R}\) es igual a la pendiente de su curva en dicho punto. Dicho de otro modo, buscamos una función real igual a su derivada. La única solución es la función exponencial de base \(e\). Este tipo de ecuación se llama ecuación diferencial.
Mi recomendación en la medida de lo posible es de resolver las ecuaciones por equivalencia. A continuación se comprueban las soluciones pero no para descartar algunas sino para detectar si nos hemos equivocado y en algún paso hemos escrito algo menos restrictivo que lo anterior en cuyo caso procede corregir hasta dar con las soluciones correctas.
Resolver ecuaciones razonando por equivalencia en vez de implicaciones puede parecer al principio un poco engorroso pero en realidad es un excelente ejercicio de rigor que puede ayudar mucho cuando se vayan a estudiar ecuaciones un poco mas complicadas.
Es curioso observar que a menudo a un estudiante de bachiller se le pide "comprobar" las soluciones cuando tiene ecuaciones no lineales de una variable pero si tiene un sistema lineal de varias variables (hablamos del metodo de resolución de Gauss por ejemplo) normalmente no se le dice nada y se da(n) por buena(s) la(s) solucion(es) sin descartar ninguna. En mi opinión sería buena idea abordar estos conceptos en la medida de lo posible, para caminar en vez de correr. Porque siempre se va mas lejos caminando.
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