En este artículo vamos a ver lo que es una función y lo que es una aplicación. Existe una pequeña diferencia entre una cosa y otra que vamos a aclarar.
Para un determinado elemento \(x \in E \), \(f(x)\) se llama "imagen de \(x\) por la función \(f\)".
Para un determinado elemento \(y \in F \), si existe \(x \in E\) tal que \(y=f(x)\) dicho elemento \(x\) (que no tiene porque ser único) se llama "antecedente de \(y\) por la función \(f\)".
El conjunto de todos los valores "\(f(x)\)" cuando \(x\) recorre el dominio de la función \(f\) es un subconjunto de \(F\) y se llama recorrido de \(f\). Formalmente:
\[\begin{aligned}Recorrido\,de\,f\,&= \{y \in F / (\exists x \in E / y=f(x))\}\\&=\{f(x) / x \in E\}\end{aligned}\]
Identidad
La identidad de un conjunto \(E\) es simplemente la aplicación que a cada elemento de \(E\) asocia este mismo elemento:
\[\begin{aligned} Id: & E & \rightarrow & E \\ & x & \mapsto & x \end{aligned}\]
Notése que se habla de identidad de un conjunto, no de identidad a solas.
Composición de aplicaciones
Es posible componer dos aplicaciones y lograr una tercera. Supongamos que disponemos de tres conjuntos (no necesariamente distintos entre sí) que notamos \(E\), \(F\) y \(G\). Disponemos también de dos aplicaciones \(f\) y \(g\). \(f\) es una aplicación de \(E\) a valores en \(F\) y \(g\) es una aplicación de \(F\) a valores en \(G\). Es posible obtener una aplicación \(h\) de \(E\) a valores en \(G\) que a todo elemento de \(E\) asocia la imagen por la función \(g\) de su imagen por la función \(f\):
\[\begin{aligned} h: & E & \rightarrow & G \\ & x & \mapsto & g(\,f(x)\,) \end{aligned}\]
La aplicación \(h\) así definida se llama apliación compuesta de \(g\) y \(f\) (importa el orden) y se nota \(g \circ f\).
Aplicaciones sobreyectivas
Aplicaciones inyectivas
Aplicaciones biyectivas
Se dice de una aplicación \(f\) de \(E\) a valores en \(F\) que es biyectiva cuando es a la vez sobreyectiva e inyectiva. Es decir que cada elementos de \(F\) tiene un antecedente y uno solo:\[f \, es \, biyectiva \; \Leftrightarrow \; \forall y \in F, \exists! x \in E / f(x)=y\]
Cuando dos conjuntos \(E\) y \(F\) tienen la propiedad de que existe una aplicación biyectiva de \(E\) a valores en \(F\), se dice que son equipotentes.
Nota: la relación "es equipotente a" es aparentemente una relación de equivalencia (es obviamente reflexiva, simétrica y transitiva). No obstante hay que abstenerse de hablar de relación de equivalencia puesto que el "conjunto de todos los conjuntos" sobre el que se aplicaría dicha relación de equivalencia no es verdaderamente un conjunto sino una clase. Este tema es interesante tanto a nivel teórico como histórico. El brillante matemático alemán Gottlob Fredge (brillante por sus razonamientos lógicos y no tanto por sus ideas politicas) recibió en 1902 una carta del joven matemático inglés Bertrand Russell en la que se desmontaba buena parte de los trabajos de Fredge ya que éste había definido los naturales asimilándolos a las clases de equivalencia de los conjuntos por la relación "es equipotente a". Russell pusó en evidencia de forma muy directa y sencilla que hablar del conjunto de todos los conjuntos lleva a una paradoja.
Recíproca
Si \(f\) es una aplicación biyectiva entre \(E\) y \(F\), entonces podemos asociar a cada elemento de \(F\) su único antecedente en \(E\), creando de esta forma una aplicación de \(F\) a valores en \(E\) llamada recíproca de \(f\) y notada \(f^{-1}\).
\[\begin{aligned} f^{-1}: & F & \rightarrow & E \\ &y&\mapsto & x \in E / f(x)=y \end{aligned}\]
Notese que sólo se habla de recíproca cuando una aplicación es biyectiva. En efecto, si \(f\) no fuera inyectiva, un mismo elemento de \(F\) podría tener varios antecedentes llevando a una indefinición de \(f^{-1}\). Por otra parte para hablar de recíproca es preciso en su caso reducir \(F\) de tal forma que \(f\) sea sobreyectiva sobre \(F\). Si \(f\) no fuera sobreyectiva existirian elementos de \(F\) sin antecedentes por lo que \(f^{-1}\) no estará definida sobre todo \(F\) (sería una función, no una aplicación).
La recíproca \(f^{-1}\) de una biyección \(f\) de \(E\) a valores en \(F\) es una biyección de \(F\) a valores en \(E\). En efecto, es sobreyectiva ya que para cualquier \(x \in E\), \(f(x)\) es un (el) elemento de \(F\) cuya imagen por \(f^{-1}\) es \(x\). Es inyectiva porque si \(y_{1}\) e \(y_{2}\) son dos elementos de \(F\) tales que \(f^{-1}(y_{1})=f^{-1}(y_{2})\), entonces \(f(f^{-1}(y_{1}))=f(f^{-1}(y_{2})\), lo que viene a decir que \(y_{1}=y_{2}\).
La composición de una biyección con su recíproca es la identidad de un determinado conjunto: \(f \circ f^{-1} = Id\)
Y por otra parte, \(f^{-1} \circ f = Id\)
Pero en el caso general, \(f \circ f^{-1} \neq f^{-1} \circ f\) puesto que la primera es la identidad del conjunto \(F\) y la segunda es la identidad del conjunto \(E\).
Inicio
Supongamos que disponemos de una relación funcional \(R\) entre dos conjuntos \(E\) y \(F\). Las relaciones funcionales se definen en el apartado "Relaciones", recordemos que se trata de una relación tal que para cada elemento de \(E\), existe como mucho un elemento de \(F\) en relación con dicho elemento. Formalmente escribiremos que si encontramos dos elementos en \(F\) en relación con el mismo elemento de \(E\), significa que estos dos elementos son un mismo elemento:
\[\forall (x,y,y') \in E \times F \times F,\; xRy \; y \; xRy' \Rightarrow y=y'\]
La relación \(R\) con esta propiedad caracteriza una función que se suele llamar \(f\). El conjunto de los elementos de \(E\) para los cuales existe efectivamente un elemento en \(F\) con el que este en relación se llama dominio de la función \(f\) y se nota a veces \(D_{f}\), formalmente:
\[D_{f}=\{x \in E\;/\; (\exists! y \in F\;/\;xRy\}\]
Cuando reducimos \(E\) al dominio de \(f\), se habla de una aplicación entre \(E\) y \(F\). En lo que sigue vamos a suponer que la función \(f\) es además una aplicación, es decir que su dominio es \(E\).
Todos los elementos \(x\) de \(E\) tienen una única imagen en \(F\) y dicha imagen se suele notar \(f(x)\). Formalmente, una función se define de la siguiente forma.
\[\begin{aligned} f: & E & \rightarrow & F \\ & x & \mapsto & f(x) \end{aligned}\]
Donde \(E\) designará el dominio de la función.
Ejemplo:
Si \(R\) es la relación definida en \(\mathbb{R}\) sobre sí mismo en la que dos reales cualesquiera estan en relación si y solo si su producto es 1:
\[R: \;\; \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \;\; xRy \Leftrightarrow xy=1\]
Se puede demostrar que \(R\) es una relación funcional, en efecto para cualquier elemento \(x \in \mathbb{R}\) si tenemos dos elementos \(y,y' \in \mathbb{R}\) tales que \(xRy\) y además \(xRy'\), entonces tenemos \(xy=1\) y \(xy'=1\). De cualquiera de estas igualdades hallamos que \(x\neq0\) y además \(xy=xy'\). Por lo tanto \(y=y'\).
La función \(f\) es la famosa función "inversa" de \(\mathbb{R}\), la cual se escribe:
\[\begin{aligned} f: & \mathbb{R}^{*} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \frac{1}{x} \end{aligned}\]
Para un determinado elemento \(x \in E \), \(f(x)\) se llama "imagen de \(x\) por la función \(f\)".
Para un determinado elemento \(y \in F \), si existe \(x \in E\) tal que \(y=f(x)\) dicho elemento \(x\) (que no tiene porque ser único) se llama "antecedente de \(y\) por la función \(f\)".
El conjunto de todos los valores "\(f(x)\)" cuando \(x\) recorre el dominio de la función \(f\) es un subconjunto de \(F\) y se llama recorrido de \(f\). Formalmente:
\[\begin{aligned}Recorrido\,de\,f\,&= \{y \in F / (\exists x \in E / y=f(x))\}\\&=\{f(x) / x \in E\}\end{aligned}\]
Identidad
\[\begin{aligned} Id: & E & \rightarrow & E \\ & x & \mapsto & x \end{aligned}\]
Notése que se habla de identidad de un conjunto, no de identidad a solas.
Composición de aplicaciones
Es posible componer dos aplicaciones y lograr una tercera. Supongamos que disponemos de tres conjuntos (no necesariamente distintos entre sí) que notamos \(E\), \(F\) y \(G\). Disponemos también de dos aplicaciones \(f\) y \(g\). \(f\) es una aplicación de \(E\) a valores en \(F\) y \(g\) es una aplicación de \(F\) a valores en \(G\). Es posible obtener una aplicación \(h\) de \(E\) a valores en \(G\) que a todo elemento de \(E\) asocia la imagen por la función \(g\) de su imagen por la función \(f\):
\[\begin{aligned} h: & E & \rightarrow & G \\ & x & \mapsto & g(\,f(x)\,) \end{aligned}\]
La aplicación \(h\) así definida se llama apliación compuesta de \(g\) y \(f\) (importa el orden) y se nota \(g \circ f\).
Se dice de una aplicación \(f\) de \(E\) a valores en \(F\) que es sobreyectiva cuando su recorrido es \(F\), es decir que cualquier elemento del conjunto \(F\) tiene al menos un antecedente.
\[f \, es \, sobreyectiva \; \Leftrightarrow \; \forall y \in F, \exists x \in E / f(x)=y\]
Aplicaciones inyectivas
Se dice de una aplicación \(f\) de \(E\) a valores en \(F\) que es inyectiva cuando ningún elemento de \(F\) tiene mas de un antecedente. Formalmente, se escribe que si dos elementos de \(E\) tienen la misma imagen (es decir que son antecedentes de un mismo elemento de \(F\)), entonces estos dos elementos son iguales entre sí:
\[f \, es \, inyectiva \; \Leftrightarrow \; (\forall (x_{1},x_{2}) \in E^{2}, f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2})\]Cuando dos conjuntos \(E\) y \(F\) tienen la propiedad de que existe una aplicación inyectiva de \(E\) a valores en \(F\), se dice que \(E\) es subpotente a \(F\).
Nota: "subpotente" no es un término reconocido por la RAE.
Aplicaciones biyectivas
Se dice de una aplicación \(f\) de \(E\) a valores en \(F\) que es biyectiva cuando es a la vez sobreyectiva e inyectiva. Es decir que cada elementos de \(F\) tiene un antecedente y uno solo:\[f \, es \, biyectiva \; \Leftrightarrow \; \forall y \in F, \exists! x \in E / f(x)=y\]
Cuando dos conjuntos \(E\) y \(F\) tienen la propiedad de que existe una aplicación biyectiva de \(E\) a valores en \(F\), se dice que son equipotentes.
Nota: la relación "es equipotente a" es aparentemente una relación de equivalencia (es obviamente reflexiva, simétrica y transitiva). No obstante hay que abstenerse de hablar de relación de equivalencia puesto que el "conjunto de todos los conjuntos" sobre el que se aplicaría dicha relación de equivalencia no es verdaderamente un conjunto sino una clase. Este tema es interesante tanto a nivel teórico como histórico. El brillante matemático alemán Gottlob Fredge (brillante por sus razonamientos lógicos y no tanto por sus ideas politicas) recibió en 1902 una carta del joven matemático inglés Bertrand Russell en la que se desmontaba buena parte de los trabajos de Fredge ya que éste había definido los naturales asimilándolos a las clases de equivalencia de los conjuntos por la relación "es equipotente a". Russell pusó en evidencia de forma muy directa y sencilla que hablar del conjunto de todos los conjuntos lleva a una paradoja.
Recíproca
Si \(f\) es una aplicación biyectiva entre \(E\) y \(F\), entonces podemos asociar a cada elemento de \(F\) su único antecedente en \(E\), creando de esta forma una aplicación de \(F\) a valores en \(E\) llamada recíproca de \(f\) y notada \(f^{-1}\).
\[\begin{aligned} f^{-1}: & F & \rightarrow & E \\ &y&\mapsto & x \in E / f(x)=y \end{aligned}\]
Notese que sólo se habla de recíproca cuando una aplicación es biyectiva. En efecto, si \(f\) no fuera inyectiva, un mismo elemento de \(F\) podría tener varios antecedentes llevando a una indefinición de \(f^{-1}\). Por otra parte para hablar de recíproca es preciso en su caso reducir \(F\) de tal forma que \(f\) sea sobreyectiva sobre \(F\). Si \(f\) no fuera sobreyectiva existirian elementos de \(F\) sin antecedentes por lo que \(f^{-1}\) no estará definida sobre todo \(F\) (sería una función, no una aplicación).
La recíproca \(f^{-1}\) de una biyección \(f\) de \(E\) a valores en \(F\) es una biyección de \(F\) a valores en \(E\). En efecto, es sobreyectiva ya que para cualquier \(x \in E\), \(f(x)\) es un (el) elemento de \(F\) cuya imagen por \(f^{-1}\) es \(x\). Es inyectiva porque si \(y_{1}\) e \(y_{2}\) son dos elementos de \(F\) tales que \(f^{-1}(y_{1})=f^{-1}(y_{2})\), entonces \(f(f^{-1}(y_{1}))=f(f^{-1}(y_{2})\), lo que viene a decir que \(y_{1}=y_{2}\).
La composición de una biyección con su recíproca es la identidad de un determinado conjunto: \(f \circ f^{-1} = Id\)
Y por otra parte, \(f^{-1} \circ f = Id\)
Pero en el caso general, \(f \circ f^{-1} \neq f^{-1} \circ f\) puesto que la primera es la identidad del conjunto \(F\) y la segunda es la identidad del conjunto \(E\).