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De las misma manera que se han tratado los límites de series reales, vamos a ver los límites de funciones reales de valor real.

Ya sabemos que el cuerpo de los reales

$\mathbb{R}$ está dotado de una relación de orden total y de una distancia, lo cual nos va a permitir hablar de límites. De la misma manera que se hizó hincapié en el caso de las series, será importante tener cuidado con las pequeñas preposiciones en las frases que se redactan. No es lo mismo decir que una función

$f$ tiene como límite 33 en 0, que decir que tiene límite 0 en 33. Cuando decimos que "tiene como límite", nos referimos que los valores de

$f(x)$ se acercan a dicho valor (o se van al infinito), mientras que cuando decimos "en", decimos que es cuando

$x$ se acerca a un valor (o se va a un infinito) que los valores de

$f(x)$ se comportan de una determinada forma.

El dominio

$Dom_{f}$ de la función

$f$ puede ser

$\mathbb{R}$ o una parte de

$\mathbb{R}$ . Podremos hablar de límite de

$f$ en cualquier punto de

$Dom_{f}$ incluendo sus fronteras. Esto significa por ejemplo que si

$Dom_{f}=]-\infty,0[ \cup ]0,2] \cup ]4,+\infty[$ podremos hablar de límites de

$f$ en (cuanto

$x$ tiende a)

$-\infty, -2, 0^-, 0^+, 2^-, 4^+, 77, +\infty$ etc. Pero no podríamos hablar de límite de

$f$ en

$3$ , ni en

$4^-$ .

Límite infinito en un infinito

Si el dominio de

$f$ no tiene borne superior, podemos hablar de límite de

$f$ en

$+\infty$ . Si por ejemplo observamos que cuanto mas grande es

$x$ , mas grande es

$f(x)$ , nos podemos preguntar si

$f$ tiene límite

$+\infty$ en

$+\infty$ , y será el caso si y solo si, por muy grande que sea un real

$M$ , existirá un número

$x_{0}$ a partir del cual basta con que

$x$ sea superior a

$x_{0}$ para asegurarnos de que

$f(x)$ sea superior a

$M$ .

Y esto se escribe

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\;\; \Leftrightarrow \;\; \forall M\in\mathbb{R},\, \exists x_{0}\in Dom_{f},\; / \;\forall x\in Dom_{f},\; x\geq x_{0} \Rightarrow f(x)\geq M$
Es habitual leer:

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\;\; \Leftrightarrow \;\; \forall M\in\mathbb{R},\, \exists x_{0}\in Dom_{f},\; / x\geq x_{0} \Rightarrow f(x)\geq M$

De la misma manera tenemos:

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty\;\; \Leftrightarrow \;\; \forall M\in\mathbb{R},\, \exists x_{0}\in Dom_{f},\; / \;\forall x\in Dom_{f},\; x\geq x_{0} \Rightarrow f(x)\leq M$
Y si el dominio de

$f$ no tiene borne inferior:

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty\;\; \Leftrightarrow \;\; \forall M\in\mathbb{R},\, \exists x_{0}\in Dom_{f},\; / \;\forall x\in Dom_{f},\; x\leq x_{0} \Rightarrow f(x)\geq M$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty\;\; \Leftrightarrow \;\; \forall M\in\mathbb{R},\, \exists x_{0}\in Dom_{f},\; / \;\forall x\in Dom_{f},\; x\leq x_{0} \Rightarrow f(x)\leq M$

Límite finito en un infinito

Si el dominio de

$f$ no tiene borne superior, y observamos que cuanto

$x$ crece,

$f(x)$ se acerca a un valor determinado que notamos

$L$ , nos podemos preguntar si

$f$ tiene límite

$L$ en

$+\infty$ , y será el caso si y sólo si, por muy pequeño que sea un real estrictamente positivo

$\varepsilon$ , existirá un valor

$x_{0}$ a partir del cual basta con que

$x$ sea superior a

$x_{0}$ para asegurarnos de que el valor

$f(x)$ este tan cerca de

$L$ que su distancia a

$L$ sea inferior a

$\varepsilon$ .

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=L;\; \Leftrightarrow \;\; \forall \varepsilon\in\mathbb{R},\, \exists x_{0}\in Dom_{f},\; / \;\forall x\in Dom_{f},\; x\geq x_{0} \Rightarrow \left | f(x)-L \right | \leq \varepsilon$

Límite infinito en un punto

Supongamos ahora que el dominio de

$f$ es tal que los valores de

$x$ se puedan acercar tanto como queramos de un valor determinado

$x_{0} \in \mathbb{R}$ pero no lo puede alcanzar nunca. Es el caso por ejemplo de la función inversa, cuyo dominio es

$\mathbb{R}^*$ (

$\mathbb{R}$ privado de cero). Los valores de

$x$ se pueden acercar tanto que se desee de cero, pero cero no se puede alcanzar.

$x_{0}$ es una frontera del dominio pero no esta dentro del dominio. Puede ser que

$x$ se acerque a

$x_{0}$ por la izquierda (es decir por valores inferiores), por la derecha (valores superiores) o se pueda acercar de ambos lados. Si observamos que cuanto

$x$ se acerca a

$x_{0}$ los valores de

$f(x)$ se disparan (en positivo o en negativo), probablemente

$f$ tenga un límite por la derecha, por la izquierda o incluso un límite "a secas" infinito en

$x_{0}$ . Y esto, lo vamos a escribir con rigor afirmando que

$f$ tiene como límite

$+\infty$ en

$x_{0}^-$ (es decir por la izquierda), si y sólo si por muy grande que elijamos

$M$ , existirá un pequeño

$\varepsilon$ positivo pero lo bastante pequeño, de tal forma que basta que

$x$ este a una distancia del famoso

$x_{0}$ inferior a

$\varepsilon$ para estar seguro de que

$f(x)$ ya esta por encima de

$M$ :

$\lim_{x \to x_{0}^-} f(x)=+\infty;\; \Leftrightarrow \;\; \forall M\in\mathbb{R},\, \exists \varepsilon \in \mathbb{R}^{+*},\; / \;\forall x\in Dom_{f},\; 0 \leq x_{0}-x \leq \varepsilon \Rightarrow f(x) \geq M$

Observen que puesto que

$x_{0}$ no pertenece a

$Dom_{f}$ , la condición

$0\leq x_{0}-x$ , si se cumple, se cumplirá necesariamente de forma estricta:

$0 < x_{0}-x$ .

No creo que sea necesario seguir adelante con un límite a la derecha (la condición sería

$0 \leq x-x_{0} \leq \varepsilon$ ) ni con que el límite sea

$-\infty$ , (la condición implicaría

$f(x) \leq M$ ).

Cuando una función tiene un límite en un punto tanto a la derecha como a la izquierda y que dichos límites coinciden (son iguales), entonces no es necesario hablar de límite a la derecha ni a la izquierda, simplemente decimos que tiene un límite (yo suelo especificar "a secas" para destacar que los tiene de ambos lados y son iguales).

Límite finito en un punto

Esta vez no es necesario que

$x_{0}$ no pertenezca a

$Dom_{f}$ . Puede pertenecer o no al dominio de la función PERO, como mucho tiene que ser su frontera, es decir, que sea posible acercarnos cuanto queramos a

$x_{0}$ estando en el dominio de

$f$ . Lo demás cae por su propio peso. Decir que

$f$ tiene por límite

$L$ en

$x_{0}$ es decir que por muy pequeño que elijamos un real estrictamente positivo

$\varepsilon_{y}$ , existirá un real estrictamente positivo

$\varepsilon_{x}$ de forma que basta con que

$x$ este a una distancia de

$x_{0}$ inferior a

$\varepsilon_{x}$ para estar seguro de que

$f(x)$ este a una distancia de

$L$ inferior a

$\varepsilon_{y}$ .

$\lim_{x \to x_{0}^-} f(x)=L;\; \Leftrightarrow \;\; \forall \varepsilon_{y} \in\mathbb{R}^{+*},\, \exists \varepsilon_{x} \in \mathbb{R}^{+*},\; / \;\forall x\in Dom_{f},\; 0 \leq x_{0}-x \leq \varepsilon_{x} \Rightarrow \left | f(x)-L \right | \leq \varepsilon_{y}$

En este punto desgraciadamente hay divergencia de criterios. En España, se introduce a menudo otro concepto de límite, que es un límite por valores distintos, es decir que se impone que

$x$ sea distinto de

$x_{0}$ . En este caso la condición es

$0 < x_{0} - x \;...$ . Esta condición, que está delante del símbolo "implica" es por lo tanto mas restrictiva y habrá MAS funciones que tendrán límite (una condición mas restrictiva a la izquierda del simbolo "implica" termina generando una proposición matemática menos restrictiva, con lo cual hay mas funciones que la cumple).

Preferiría no hablar de límites por valores distintos ya que es innecesario, es una formulación mas antigua, menos usada, y en definitiva es una forma de complicarse la vida puesto que hay que adaptar ciertos teoremas de la topología. Así todo es legítimo adoptar esta definición y como es lo que suelo ver en los libros de bachiller en España, tengo artículos que adoptan ese criterio.

Continuidad

Se suele introducir la continuidad de una función con "que la puedas dibujar sin levantar el lápiz". Lo cual es un buen comienzo pero en algún momento habrá que definirlo mejor.

Hay que empezar hablando de continuidad en un punto del dominio de la función, punto que ha de estar dentro de un intervalo. Si

$f$ está definida en un punto

$x_0$ aislado, no hay continuidad de la que hablar. Si luego hay muchos puntos donde tenemos continuidad y estos punto forman a su vez un intervalo, se hablará de continuidad sobre dicho intervalo y eventualmente sobre el dominio completo. Siendo

$f$ una función real de una variable real, sea

$x_{0} \in Dom_{f}$ sin ser su frontera. Decir que

$f$ es contínua en

$x_{0}$ es decir que

$f$ tiene límite en

$x_{0}$ tanto a la izquierda como a la derecha, y que estos límites coinciden. Consecuencia de ello es que este límite es finito, y es el valor

$f(x_{0})$ . Si se manejan límites por valores distintos, habría que añadir en la definición de la continuidad que el límite ha de ser finito y coincidir con

$f(x_{0})$ . Si

$x_{0}$ fuera frontera del dominio, basta con tener un sólo límite para tener continuidad. De todo lo anterior, es posible deducir la condición necesaria y suficiente de continuidad:

Si una función real

$f$ de una variable real está definida en un intervalo

$I$ , sea

$x_{0}\in I$ ,

$f$ es continua en

$x_{0}$ si y solo si:

$\forall \varepsilon_{y} \in\mathbb{R}^{+*},\, \exists \varepsilon_{x} \in \mathbb{R}^{+*},\; / \;\forall x\in I,\; \left |x - x_{0} \right | \leq \varepsilon_{x} \Rightarrow \left | f(x)-f(x_{0}) \right | \leq \varepsilon_{y}$
.

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Límite de una función en un infinito: