Vamos a estudiar en este artículo un método general de integración de funciones racionales. En lo que sigue, se llamará función racional al cociente de dos polinomios.
Sean \(A\) y \(B\) dos polinomios de una variable para la suma y multiplicación en \(\mathbb{R}\). \(A,B\in\mathbb{R}[X]\), tales que \(B\) no sea el polinomio nulo (todos los coeficientes nulos). La función \(f\) que a \(x\in\mathbb{R}\) asocia \(f(x)=A(x)/B(x)\) es continua sobre cada intervalo de su dominio como composición y producto de funciones contínuas y resulta por lo tanto integrable. Deseamos pues calcular una primitiva de \(f\):
\[F(x)=\int f(x)dx=\int \frac{A(x)}{B(x)} dx\]
Reconocer una forma "u'/u"
Antes de lanzarse en largos cálculos, conviene comprobar si no tenemos la suerte de que \(A(x)\) sea, o sea "casí" la derivada de \(B(x)\), en cuyo caso el problema se resuelve de inmediato:
\[F(x)=\int \frac{B'(x)}{B(x)} dx=ln |B(x)| +K\]
Cuando digo "casí" la derivada, me refiero a que podríamos tener:
Ejemplo 1:
\[\begin{align}F(x)&=\int \frac{x+1}{x^{2}+9} dx \\&= \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^{2}+9} dx +\int \frac{1}{x²+9} dx \\&=\frac{1}{2} ln(x^2+9) + \frac{1}{3}arctan(\frac{x}{3}) +K \end{align}\]
(Sobra el valor absoluto en el primer término). El segundo término se ha calculado con:
\[\begin{align}\int \frac{1}{x^{2}+9} dx &= \frac{1}{9} \int \frac{1}{(\frac{x}{3})^{2}+1} dx \\ \text{Cambio de variable:}&\frac{x}{3}= \tan(\alpha),\;\frac{dx}{3}=(\tan^{2}(\alpha)+1)d\alpha \\ &=\frac{1}{9} \int 3 d\alpha \\ &=\frac{1}{3}\arctan(\frac{x}{3}) \end{align}\]
División polinomial
Si no tenemos esta "suerte" de que \(A(x)\) sea "casí" derivada de \(B(x)\), vamos a utilizar la división euclidiana polinomial, la cual nos dice que el numerador \(A(x)\) se puede escribir de forma única: \(A(x)=Q(x).B(x)+R(x)\) donde \(Q\) es un polinomio y \(R\) es un polinomio de grado estrictamente inferior a al grado de \(B\). Nos encontramos por lo tanto con:
\[ \begin{align} F(x) &=\int \frac{Q(x).B(x)+R(x)}{B(x)} dx \\&= \int Q(x) + \frac{R(x)}{B(x)} dx \\& \end{align}\]
La integración del polinomio \(Q\) no supone absolutamente ningún problema con lo cual nos queda por integrar una función racional \(R/B\) donde \(R\) tiene un grado estrictamente inferior a \(B\).
En este momento, y antes de seguir adelante conviene dedicar un tiempo en ver si esta vez tenemos suerte y resulta que el polinomio \(R\) (ya que tiene un grado estrictamente inferior al grado de \(B\)), es o es "casí" la derivada de la función polinomial \(B\), en cuyo caso, hemos terminado.
Ejemplo 2:
\[ F(x)=\int \frac{x^{4}+x^{3}+5x^{2}+3x+3}{x^{3}+2x+1} dx \]
Procedemos a realizar la división euclidiana:
\[\begin{array}{ccccc|l} x^{4}&+x^{3}&+5x^{2}&+3x&+3 & x^{3}+2x+1 \\ \hline x^{4}&&+2x^{2}&+x&& x+1 \\&x^{3}&+3x^{2}&+2x&+3\\&x^{3}&&+2x&+1\\&&+3x^{2}&&+2 \end{array}\]
Y obtenemos:
\[x^{4}+x^{3}+5x^{2}+3x+3=(x^{3}+2x+1)(x+1)+3x^{2}+2\]
\[\begin{align}F(x) &=\int \frac{(x^{3}+2x+1)(x+1)+3x^{2}+2}{x^{3}+2x+1} dx \\&=\int x+1 dx + \int \frac{3x^{2}+2}{x^{3}+2x+1} dx \\&= x^{2}+x+ln(|x^{3}+2x+1|) + K \end{align}\]
Descomposición en elementos simples
En caso de que no tengamos la suerte de encontrarse con la derivada del denominador en el numerador, va a ser necesario descomponer \(B\) en producto de polinomios irreductibles, o lo que es lo mismo, descomponerlo en producto de factores primos (en este caso los factores son polinomios) es decir, factorizarlo al máximo encontrando todas sus raíces reales y terminar escribiéndolo de la forma (única):
\[ B(x) = a \prod_{i=1}^{n} (x-x_{i})^{p_{i}} \prod_{k=1}^{m} (x^{2}+b_{k}x+c_{k})^{q_{k}} \]
\(\prod\) significa "producto". En esta descomposición,- \(a\) es el coeficiente del monomio de mayor grado de \(B\).
- \(x_{1}...x_{n}\) son las \(n\) raíces reales de \(B\) cuyas multiplicidades son \(p_{1}...p_{n}\)
- \(x^{2}+b_{k}x+c_{k}\) para \(k \in \{1,...m\}\) son \(m\) polinomios sin raíces reales cuyas multiplicidades son \(q_{1}...q_{m}\) (\(\forall k\in \{1,...m\}, \Delta_{k}=b_{k}^{2}-4c_{k}<0\)).
Existe un teorema que afirma que si dos polinomios \(P_{1}\) y \(P_{2}\) son primos entre sí (que no admiten un polinomio divisor común que no sea de grado cero), y además \(P_{1}\) tiene un grado inferior a \(P_{2}\), entonces la fracción \(\frac{P_{1}}{P_{2}}\) se puede descomponer en suma de elementos del tipo \(\frac{T}{S^{r}}\) donde \(S\) es un polinomio de la descomposición en factores primos de \(P_{2}\) , \(r\) toma valores entre 1 y la multiplicidad de \(S\), y \(T\) tiene un grado estrictamente inferior a \(S\).
Puesto que \(R\) y \(B\) son el resultado de una división euclidiana de polinomios, ya sabemos que el grado del numerador es inferior al grado del denominador. Queda por lo tanto comprobar que son primos entre sí para aplicar el teorema. Si no fueran primos entre sí, entonces tendrían una o varias raices comunes (reales o complejas). Puesto que a efectos de aplicar el teorema tendremos que factorizar \(B\), será conveniente comprobar que las raices encontradas no son raices de \(R\). Si lo fueran, simplemente habría que simplificar hasta quedarse con un cociente de polinomios primos entre sí (Ver ejemplo). Podemos por lo tanto seguir suponiendo que \(R\) y \(B\) son primos entre sí. Una vez tengamos todos los factores de la decomposición de \(B\), la fracción \(\frac{R(x)}{B(x)}\) se puede escribir de manera única de la forma:
\[ \frac{R(x)}{B(x)} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{p_{i}} \frac{A_{ij}}{(x-x_{i})^{j}} + \sum_{k=1}^{m} \sum_{l=1}^{q_{k}} \frac{B_{kl}x+C_{kl}}{(x^{2}+b_{k}x+c_{k})^{l}}\;\;\;\;\;(1) \]
Donde \(A_{ij}\), \(B_{kl}\) y \(C_{kl}\) son constantes reales que debemos averiguar (Ver ejemplo 3 al final de artículo). En total, tenemos por lo tanto \(\sum_{i=1}^{n}p_{i}\) coeficientes \(A_{ij}\), \(\sum_{k=1}^{m}q_{k}\) coeficientes \(B_{kl}\), y otros \(\sum_{k=1}^{m}q_{k}\) coeficientes \(C_{kl}\) que calcular, pongamos que sea un total de \(w\) incógnitas. Existen múltiples maneras de encontrar todos estos coeficientes, aunque a veces los cálculos se pueden volver algo tediosos. Una primera forma sería multiplicar por \(B(x)\) ambos miembros de la expresión anterior, usando la descomposición en producto de factores irreductibles de \(B(x)\), obtenemos:
\[ \begin{align} R(x) = &a \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{p_{i}} A_{ij} \left ( \prod_{r\neq i}(x-x_{r})^{p_{r}} \right ) (x-x_{i})^{p_{i}-j} \left (\prod_{k=1}^{m} (x^{2}+b_{k}x+c_{k})^{q_{k}} \right ) \\&+ a \sum_{k=1}^{m} \sum_{l=1}^{q_{k}} (B_{kl}x+C_{kl}) \left (\prod_{i=1}^{n} (x-x_{i})^{p_{i}} \right ) \left ( \prod_{s\neq k}(x^{2}+b_{s}x+c_{s})^{q_{s}} \right ) (x^{2}+b_{k}x+c_{k})^{q_{k}-l} \;\;\;\;\;(2)\end{align}\]
Si la ecuación anterior \((1)\) era cierta para cualquier real (o complejo) distinto de las raíces de \(B(x)\), por un motivo de continuidad, esta nueva ecuación \((2)\) es simplemente cierta para cualquier real (o complejo) y de hecho la vamos a utilizar precisamente en la raíces de \(B(x)\) para facilitarnos el cálculo de las constantes.
Tenemos en \((2)\) una igualdad de polinomios, han de coincidir en todos los puntos, con lo cual podríamos dar \(w\) distintos valores aleatorios a \(x\) y nos quedaríamos con un sistema lineal de \(w\) ecuaciones de \(w\) incógnitas, a resolver por el método de Gauss. Lógicamente, en vez de usar valores aleatorios, se buscan valores que simplifican el sistema. En particular, si \(x\) toma los valores de las raíces \(x_{1}...x_{n}\), pongamos por ejemplo \(x=x_{t}\), los términos entre paréntesis del tipo \( \left ( \prod_{r\neq i}(x-x_{r})^{p_{r}} \right )\) se anulan todos salvo el que corresponde a \(i=t, j=p_{t}\), con lo cual la primera doble suma se queda en un sólo término que es:\[aA_{tp_{t}} \left ( \prod_{r\neq t}(x_{t}-x_{r})^{p_{r}} \right ) \left (\prod_{k=1}^{m} (x_{t}^{2}+b_{k}x_{t}+c_{k})^{q_{k}} \right )\] De la segunda suma, todos los términos son nulos. Todo queda en:\[A_{tp_{t}}=\frac{R(x_{t})}{a\left ( \prod_{r\neq t}(x_{t}-x_{r})^{p_{r}} \right ) \left (\prod_{k=1}^{m} (x_{t}^{2}+b_{k}x_{t}+c_{k})^{q_{k}} \right )}\]De esta forma, para valores de \(t\) en \(\{1...n\}\) encontraremos \(n\) coeficientes del tipo \(A_{tp_{t}}\). Tan sólo nos quedarían los coeficientes del tipo \(A_{tj}\) con \(j \neq p_{t}\) que corresponden a raíces múltiples de \(B(x)\) y por supuesto los coeficientes \(B_{kl}\) y \(C_{kl}\). Si todas las raíces fueran de multiplicidad 1 (\(p_{t}=1\)), y además la descomposición de \(B(x)\) carece de polinomios irreductibles de segundo grado (no hay coeficientes \(B_{kl}\) ni \(C_{kl}\)) entonces ya tendríamos todos los coeficientes necesarios.
Si en cambio tenemos raíces múltiples o si quedan polinomios irreductibles de segundo grado, hay que seguir trabajando. Si tenemos polinomios irreductibles de segundo grado, podemos usar sus raíces complejas en la expresión \((2)\) de tal forma que nuevamente anularemos casí todos los términos, en concreto, todos los términos de la primera doble suma y todos los términos menos uno de la segunda doble suma. Nos quedaremos esta vez con una ecuación líneal en \(\mathbb{C}\) en la que aparecerán los términos reales \(B_{kq_{k}}\) y \(C_{kq_{k}}\) que podremos hallar identificando las partes reales e imaginarias de cada miembro de la ecuación. Con las raíces reales, hemos eliminado \(n\) variables al sistema, con las raíces complejas hemos eliminado otras \(m\) variables, faltan por lo tanto un total de \(w-n-m\) ecuaciones para hallar las variables restantes que son las que corresponden a raíces múltiples de \(B\), sean reales o complejas. Una posible forma de obtener las \(w-n-m\) ecuaciones restantes sería dar a \(x\) valores sencillos (obviamente distintos de las raíces de \(B\)), y usando la expresión \((2)\) que nos dará las ecuaciones faltantes. Pero antes que esto hay todavía unos cartuchos que gastar.
Podemos obtener (como se hace en el ejemplo 3) otra ecuación con poner \(x=0\) en la expresión \((2)\) suponiendo por supuesto que \(0\) no es una de las raices de \(B(x)\). Esto viene a calcular el monomio de menor grado de cada lado de la ecuación \((2)\) e igualarlos.
También se puede obtener una ecuación adicional con igualar los monomios de mayor grado de cada lado de la expresión \((2)\) (ver ejemplo 3). Este cálculo es muy fácil y eficaz aunque tan solo permite establecer una única ecuación adicional (que no está nada mal). Este metodo es equivalente al metodo de llamado "metodo del límite en \(+\infty\)" que consiste en multiplicar \((1)\) por la potencia mas baja de \(x\) que aparece en la descomposición en elementos simples y luego calcular el límite en \(+\infty\). Por lo tanto al usar este metodo, no hemos de averiguar nada mas con el metodo del límite.
El último método que voy a proponer antes de dar valores a \(x\) y lanzarse en el metodo de resolución de ecuaciones de Gauss, va a permitir hallar valores de los coeficientes que corresponden a las raíces de mayor multiplicidad y que son precisamente los coeficientes "huidizos" que no pudimos calcular directamente dando a \(x\) en la expresión \((2)\) los valores de las raices \(x_{1}...x_{n}\). No obstante este metodo tampoco es un camino de rosas, y puede resultar un poco largo. Supongamos que una determinada raíz \(x_{f}\) tiene una multiplicidad \(p_{f}>1\). Vamos a realizar en la expresión \((2)\) un cambio de variable definido por \(t=x-x_{f}\) con lo cual nos quedaremos de ambos lados de la ecuación con polinomios en \(t\) en vez de en \(x\). La diferencia fundamental es que esta vez en vez de tener la raiz \(x=x_{f}\) tenemos la raiz \(t=0\):
\[ B(x) = a \prod_{i=1}^{n} (x-x_{i})^{p_{i}} \prod_{k=1}^{m} (x^{2}+b_{k}x+c_{k})^{q_{k}} \]
\[ B(t) = a t^{p_{f}} \prod_{i\neq f} (t+x_{f}-x_{i})^{p_{i}} \prod_{k=1}^{m} ((t+x_{f})^{2}+b_{k}(t+x_{f})+c_{k})^{q_{k}} \]
Llamemos \(B'(t)\) el polinomio \(B'(t)=\frac{B(t)}{t^{p_{f}} }\)
\[ B'(t) = a \prod_{i\neq f} (t+x_{f}-x_{i})^{p_{i}} \prod_{k=1}^{m} ((t+x_{f})^{2}+b_{k}(t+x_{f})+c_{k})^{q_{k}} \]
Con el cambio de variable, todos los términos que se suman en la expresión \((2)\) tienen ahora un factor que es \(t^{p_{f}}\), salvo los que corresponden a los elementos simple generados por la raíz \(x_{f}\). Es decir que tenemos (siendo \(R(t)\) un polinomio en \(t=x-x_{f}\) y no el polinomio \(R(x)\) tomado en el valor \(t\)):
\[ \begin{align} R(t) = & a \sum_{j=1}^{p_{f}} A_{fj} \left ( \prod_{r\neq f}(t+x_{f}-x_{r})^{p_{r}} \right ) (t)^{p_{f}-j} \left (\prod_{k=1}^{m} ((t+x_{f})^{2}+b_{k}(t+x_{f})+c_{k})^{q_{k}} \right )+ t^{p_{f}} P(t) \\&=B'(t) \left ( \sum_{j=1}^{p_{f}} A_{fj}t^{p_{f}-j} \right ) + t^{p_{f}} P(t) \end{align}\]Por lo tanto, cuando hagamos la división polinomial por potencias crecientes de \(t\) de \(R(t)\) entre \(B'(t)\) hasta encontrarse con un resto cuyos términos son todos de una de potencia de \(t\) igual o superior a la multiplicidad de la raíz (\(p_{f}\)), el polinomio cociente será el polinomio \(\sum_{j=1}^{p_{f}} A_{fj}t^{p_{f}-j}\) lo que permite identificar de golpe a todos los coeficientes \( A_{fj}\). (Ver ejemplo 3).
Integración de los elementos simples
Una vez tengamos la descomposición en elementos simples, queda integrar cada uno de los términos por separado.
Los términos que provienen de las raíces reales de \(B(x)\) no suponen problema. Son de la forma \(\frac{A_{ij}}{(x-x_{i})^{j}}\) que se integran en \(\frac{A_{ij}}{(1-j)(x-x_{i})^{j-1}}\) si \(j\neq1\) y \(A_{ij}ln|x-x_{j}|\) si \(j=1\).
Para los polinomios irreductibles de la descomposición de \(B(x)\) hemos de calcular unas integrales de la forma:
\[ \int \frac{Bx+C}{(x^{2}+bx+c )^{k}}dx\]
Donde \(k\) es un natural superior o igual a uno.
Para empezar si \(B\) no fuera nulo, procuramos que aparezca en el numerador, la derivada del polinomio irreductible, en este caso \(2x+b\):
\[ \begin{align}\int \frac{Bx+C}{(x^{2}+bx+c )^{k}}dx&= \frac{B}{2}\int \frac{2x+\frac{2C}{B}}{(x^{2}+bx+c )^{k}}dx\\&= \frac{B}{2}\int \frac{2x+b}{(x^{2}+bx+c )^{k}}dx+\int \frac{C-\frac{Bb}{2}}{(x^{2}+bx+c )^{k}}dx \end{align}\]
El primer término es de la forma "\(\frac{u'}{u}\)" y se integra en \(\frac{B}{2(1-k)(x^{2}+bx+c)^{k-1}}\) si \(k\neq 1\) y en \(\frac{B}{2} ln|x^{2}+bx+c|\) si \(k=1\).
Todo queda por lo tanto en calcular:
\[\int \frac{K}{(x^{2}+bx+c )^{k}}dx\]
Donde \(K=C-\frac{Bb}{2}\). Para ello, buscamos lograr una forma del tipo \(t^{2}+1\) en el denominador para luego proceder al cambio de variable \(t=\tan(\alpha)\).
\[ x^{2}+bx+c = (x+\frac{b}{2})^{2}-\frac{b^{2}}{4}+c\]
Sabemos que el polinomio \(x^{2}+bx+c\) es irreductible, por lo tanto \(\Delta = b^{2}-4c<0\) con lo cual \(c-\frac {b^{2}}{4}>0\) y dicha cantidad puede aparecer bajo un radical:
\[ \begin{align} \int \frac{K}{(x^{2}+bx+c )^{k}}dx &= \int { \frac {K}{(c-\frac {b^{2}}{4})^{k} \left ( \left( \frac{x+\frac{b}{2}} { \sqrt{c-\frac {b^{2}}{4}} } \right)^{2}+1 \right)^{k} }dx } \end{align}\]
Realizamos un cambio de variable definido por:
\[t=\frac{x+\frac{b}{2}} { \sqrt{c-\frac {b^{2}}{4}} } \;\;\;\;\;\; dt=\frac{1}{ \sqrt{ c-\frac {b^{2}}{4} }}dx\]
\[ \begin{align} \int \frac{K}{(x^{2}+bx+c )^{k}}dx &= \frac{K \sqrt{c-\frac {b^{2}}{4}} }{(c-\frac {b^{2}}{4})^{k}} \int \frac{1}{(t^{2}+1)^{k}} dt \end{align}\]
Nos queda por lo tanto calcular \( \int \frac{1}{(t^{2}+1)^{k}} dt \) para lo cual procedemos a un cambio de variable definido por:
\[\tan(\alpha)=t \;\;\;\;\;\; dt=(1+t^{2})d\alpha\]
\[ \begin{align}\int \frac{1}{(t^{2}+1)^{k}} dt &=\int \frac{1+\tan^2\alpha}{(\tan^2\alpha+1)^{k}} d\alpha \\&= \int \frac{1}{(\tan^2\alpha+1)^{k-1}} d\alpha \\&= \int (\cos\alpha)^{2k-2} d\alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}) \end{align}\]
En el caso de \(k=1\), es decir si el polinomio irreductible tiene una multiplicidad de uno, obtenemos:
\[ \begin{align}\int \frac{1}{(t^{2}+1)^{k}} dt &=\int 1 d\alpha \\&= \alpha + Constante\\&=\arctan t + Constante \end{align}\]
En cambio si la multiplicidad es superior a uno, hay que realizar una integración por partes para poder seguir adelante.
\[ \begin{align} (\cos\alpha)^{2k-2}&=\cos \alpha\;\;(\cos\alpha)^{2k-3}\\&=u'\;\;v \end{align}\]
Notamos \(I_{k}(\alpha)\) la integral que estamos calculando y vamos a realcionar \(I_{k}(\alpha)\) con \(I_{k-1}(\alpha)\).
\[ \begin{align} I_{k}(\alpha)&= \int (\cos\alpha)^{2k-2} d\alpha \\&=[uv]-\int uv' \\&=[\sin\alpha\;\;(\cos\alpha)^{2k-3}] -\int \sin\alpha\;\; (2k-3) (\cos\alpha)^{2k-4} (-\sin(\alpha) )\;\;d\alpha \\&=\sin\alpha\;\;(\cos\alpha)^{2k-3} + (2k-3) \int (\cos\alpha)^{2k-4} (1-\cos^2(\alpha) )\;\;d\alpha \\&=\sin\alpha\;\;(\cos\alpha)^{2k-3} + (2k-3) \int (\cos\alpha)^{2k-4} \;d\alpha - (2k-3) \int (\cos\alpha)^{2k-2}\;d\alpha \\&=\sin\alpha\;\;(\cos\alpha)^{2k-3} + (2k-3)(I_{k-1}(\alpha) - I_{k}(\alpha)) \end{align}\]
Reagrupando los términos \(I_{k}(\alpha)\):
\[ \begin{align} (2k-2)\;I_{k}(\alpha) &= \sin\alpha\;\;(\cos\alpha)^{2k-3} + (2k-3) I_{k-1}(\alpha) \end{align}\]
Por lo tanto hemos ahora de calcular \(I_{k-1}(\alpha)\), es decir que hemos bajado el exponente de una unidad. Si \(k-1=1\), ya podemos resolver (con \(\arctan\alpha\)) sino, volvemos a hacer una integración por parte y así succesivamente hasta encontrar un exponente igual a la unidad.
Ejemplo 3:
Se trata de un ejemplo global que utiliza todo lo visto en el artículo.
Supongamos que deseamos calcular:
\[\int \frac{x^{6}-4x^{5}+4x^{4}+20x^{3}-57x^{2}+59x-20 }{ x^{5}-2x^{4}-x^{3}+8x^{2}-10x+4 } dx = \int \frac {A(x)}{B(x)}dx \]
Observamos que el grado de \(A\) es superior al de \(B\) con lo cual ante todo hay que proceder a una división polinomial:
\[\begin{array}{ccccccc|l} x^{6}&-4x^{5}&+4x^{4}&+20x^{3}&-57x^{2}&+59x&-20 & x^{5}-2x^{4}-x^{3}+8x^{2}-10x+4 \\ \hline x^{6}&-2x^{5}&-x^{4}&+8x^{3}&-10x^{2}&+4x&&x-2\\&-2x^{5}&+5x^{4}&+12x^{3}&-47x^{2}&+55x&-20\\&-2x^{5}&+4x^{4}&+2x^{3}&-16x^{2}&+20x&-8\\&&x^{4}&+10x^3&-31x^{2}&+35x&-12 \end{array}\]
Y tenemos:
\[ \frac {A(x)}{B(x)} =\frac{Q(x)B(x)+R(x)}{B(x)}= Q(x)+\frac{R(x)}{B(x)} =x-2 + \frac{x^{4}+10x^3-31x^{2}+35x-12}{ x^{5}-2x^{4}-x^{3}+8x^{2}-10x+4}\]
Nos queda intergrar el término \(\frac{R(x)}{B(x)}\) lo cual no es inmediato puesto que \(R(x)\) no es, ni "se parece" a la derivada de \(B(x)\). No queda otra que descomponer \(\frac{R(x)}{B(x)}\). Para ello, hay que factorizar al máximo \(B(x)\) y esto se hace siempre buscando primero raíces "evidentes". En este caso nos percatamos de que \(B(1)=0\) con lo cual, bien usando la división polinomial de \(B(x)\) entre \(x-1\) bien usando Rufini (que no me gusta), encontraremos un polinomio de grado 4, el cual de nuevo admite la raíz 1, volvemos a dividir entre \(x-1\) el nuevo polinomio es de grado 3 y admite -2 como raíz "evidente", esta vez dividimos entre \(x+2\) y queda \(x^{2}-2x+2\) que no tiene raíces reales. Finalmente:
\[B(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}-2x+2)\]
Según el teorema sobre fracciones de polinomios primos entre sí, existen cinco constantes reales \(A_{11}, A_{21}, A_{22}, B_{11}, C_{11}\) que renombramos \(A, B, C, D, E\) tales que:
\[\begin{align} \frac{R(x)}{B(x)}&=\frac{A_{11}}{x+2}+\frac{A_{21}}{x-1}+\frac{A_{22}}{(x-1)^{2}}+\frac{B_{11}x+C_{11}}{x^{2}-2x+2} \\&=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}+\frac{Dx+E}{x^{2}-2x+2} \end{align}\]
Para poder calcular los valores \(A, B, C ,D, E\) multiplicamos por \(B(x)\) ambos miembros de la ecuación:
\[\begin{align} R(x)=&A\;(x-1)^2(x^{2}-2x+2)\\&+B\;(x+2)(x-1)(x^{2}-2x+2)\\&+C\;(x+2)(x^{2}-2x+2)\\&+(Dx+E)\;(x+2)(x-1)^2 \end{align}\]
Con \(x=-2\), obtenemos: \(R(-2)=A(-2-1)^2((-2)^2-2(-2)+2\)\), es decir \(-270=A\,.\,90\), y por lo tanto \(A=-3\),
Con \(x=1\), obtenemos: \(R(1)=C(1+2)(1^2-2(1)+2)\), es decir \(3=C\,.\,3\), y por lo tanto \(C=1\)
No disponemos de mas raices reales, usamos por lo tanto una de las raíces complejas solución de \(x^2-2x+2=0\). Discriminante: \(\Delta=-4<0\), usaremos \(x=x_{1}=\frac{2+i\sqrt{4}}{2}=1+i\).
Dado que se van a calcular potencias de \(x_{1}\) lo inteligente es escribirlo con la notación de Euler: \(x_{1}=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i}\).
\[\begin{align} R(x_{1})&=(Dx_{1}+E)(x_{1}+2)(x_{1}-1)^{2}\\4e^{i\pi}+20\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}i}-62e^{\frac{\pi}{2}}+35\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}}-12&=(D(1+i)+E)(3+i)i^{2}\\4(-1)+20\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)-62(i)+35\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)-12&=-(D+E+Di)(3+i)\\-4-20+35-12+(20-62+35)i&=-3D-3E+D+(-D-E-·D)i\\-1-7i&=-2D-3E-(4D+E)i \end{align}\]
Igualando las partes reales e imaginarias obtenemos el sistema de ecuaciones:
\[\left\{ \begin{align} &2D+3E&=1\\&4D+E&=7 \end{align}\right.\]
Resolviendo, \(D=2\) y \(E=-1\).
Tan sólo queda calcular el coeficiente \(B\). Esto se puede hacer hallando los monomios de mayor y/o de menor grado de la expresión \(A(x-1)^2(x^{2}-2x+2)+B(x+2)(x-1)(x^{2}-2x+2)+C(x+2)(x^{2}-2x+2)+(Dx+E)(x+2)(x-1)^2\) e igualándolos con los correspondientes monomios en \(R(x)\). Por ejemplo, hallamos los monomios de mayor grado:
\[\begin{align} R(x)=x^{4}+...=&A\;(x-1)^2(x^{2}-2x+2)&\rightarrow Ax^{4}+...\\&+B\;(x+2)(x-1)(x^{2}-2x+2)&\rightarrow Bx^{4}+...\\&+C\;(x+2)(x^{2}-2x+2)&\rightarrow Cx^{3}+...\\&+(Dx+E)\;(x+2)(x-1)^2&\rightarrow Dx^{4}+... \end{align}\]
De donde sacamos \(A+B+D=1\) y por lo tanto \(B=2\).
No está demás una pequeña verificación. Se puede obtener una ecuación mas que relaciona las variables hallando los monomios de grado cero de la expresión anterior:
\[\begin{align} R(x)=...-12=&A\;(x-1)^2(x^{2}-2x+2)&\rightarrow ...+2A\\&+B\;(x+2)(x-1)(x^{2}-2x+2)&\rightarrow ...-4B\\&+C\;(x+2)(x^{2}-2x+2)&\rightarrow ...+4C\\&+(Dx+E)\;(x+2)(x-1)^2&\rightarrow ...-2E \end{align}\]
De donde sacamos \(2A-4B+4C+2E=-12\) que se cumple.
Finalmente obtenemos:
\[\begin{align} \frac{R(x)}{B(x)}&=\frac{-3}{x+2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{2x-1}{x^{2}-2x+2} \end{align}\]
\[\begin{align} \int \frac{x^{6}-4x^{5}+4x^{4}+20x^{3}-57x^{2}+59x-20 }{ x^{5}-2x^{4}-x^{3}+8x^{2}-10x+4 } dx&= \int x-2-\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{2x-1}{x^{2}-2x+2} dx\\&=x^{2}-2x-3ln|x+2|+2ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+\int \frac{2x-2}{x^{2}-2x+2}dx+\int \frac{1}{x^{2}-2x+2}dx \end{align}\]
En el penúltimo término he procurado que aparezca una forma del tipo \(\int \frac{u'}{u}dx\). En el último hemos de trabajar un poco para que aparezca una forma del tipo \(t^{2}+1\) en el denominador:
\[\begin{align}x^{2}-2x+2&=(x-1)^{2}-1+2\\&=(x-1)^{2}+1\\&=t^{2}+1 \text{ (cambio de variable donde }t=x-1 \text{ y dt=dx)} \end{align}\]
\[\begin{align} \int \frac{x^{6}-4x^{5}+4x^{4}+20x^{3}-57x^{2}+59x-20 }{ x^{5}-2x^{4}-x^{3}+8x^{2}-10x+4 } dx&=x^{2}-2x-3ln|x+2|+2ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+ ln|x^{2}-2x+2|+ \arctan(x-1) \end{align}\]
Con fines didácticos vamos a encontrar los coeficientes \(B\) y \(C\) usando el cambio de variable y el metodo de la división polinomial por potencias crecientes.
\(1\) es raíz múltiple de \(B(x)\). Realizamos un cambio de variable definido por \(t=x-1\).
\[\begin{align} R(t)=&A\;t^2((t+1)^{2}-2(t+1)+2)\\&+B\;(t+3)t((t+1)^{2}-2(t+1)+2)\\&+C\;(t+3)((t+1)^{2}-2(t+1)+2)\\&+(D(t+1)+E)\;(t+3)t^{2}\\(t+1)^{4}+10(t+1)^3-31(t+1)^{2}+35(t+1)-12&=(C+Bt)\left( (t+3) \left( (t+1)^{2}-2(t+1)+2 \right) \right) + t^{2}P(t) \\t^{4}+14t^{3}+5t^{2}+7t+3&=(C+Bt)(t^{3}+3t^{2}+t+3) + t^{2}P(t)\end{align}\]
Con \(t=0\) (término de grado cero) y con el término de grado cuatro ya podríamos obtener los valores de \(C\) y \(B\) pero como lo estamos haciendo con fines didacticos, seguimos con la división polinomial de potencias crecientes:
\[\begin{array}{ccccc|l} 3&+7t&+5t^{2}&+14t^{3}&+t^{4}& 3+t+3t^{2}+t^{3} \\ \hline 3&+t&+3t^{2}&+t^{3}&&1+2t\\&6t&+2t^{2}&+13t^{3}&+t^{4}\\&6t&+4t^{2}&+6t^{3}&+2t^{4}\\&&-2t^{2}&... \end{array}\]
No es necesario seguir adelante con la división polinomial ya que el resto no nos importa (lo único que nos importa de él es que está formado de potencias de \(t\) mayor o igual a 2). Del polinomio cociente: \(1+2t\) deducimos que \(C=1\) y \(B=2\).
Ejemplo 4:
Calcular:
\[\int \frac{x^{5}-7x^{4}-5x^{3}+x^{2}-5x+20 }{ x^{6}-2x^{5}+2x^{3}-x^{2} } dx = \int \frac {A(x)}{B(x)}dx \]
El polinomio en \(A\) no es ni se parece a la derivada de \(B\), empezamos por lo tanto con factorizar \(B\). De entrada, se puede sacar el factor común \(x^{2}\):
\[B(x)=x^{2}(x^{4}-2x^{3}+2x-1)\]
\(x^{4}-2x^{3}+2x-1\) tiene como solución evidente \(1\) y por lo tanto es multiplo de \(x-1\) podemos usando la división polinomial (o Rufini) deducir que \(x^{4}-2x^{3}+2x-1=(x-1)(x^{2}-1)=(x-1)^{2}(x+1)\). En definitiva,
\[B(x)=x^{2}(x-1)^{2}(x+1)\]
Observamos que \(-1\) es también raíz de \(A\) y por lo tanto resulta posible factorizar \(A\) por \(x+1\) para poder simplificar. Usando la división polinomial (o Rufini), obtenemos que \(A(x)=(x+1)(6^{4}-13x^{3}+8x^{2}-7x+2)\). Y podemos escribir:
\[\begin{align} \frac{A(x)}{B(x)} &=\frac{ 6x^{4}-13x^{3}+8x^{2}-7x+2}{x^{2}(x-1)^{3}} \\&=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^{2}}+\frac{E}{(x-1)^{3}} \end{align}\]
\[A(x)=Ax(x-1)^{3}+B(x-1)^{3}+Cx^{2}(x-1)^{2}+Dx^{2}(x-1)+Ex^{2}\;\;\;\;(1)\]
Hallamos algunos de los coeficientes usando las raíces de \(B(x)\):
\[\begin{align} A(0)&=2&=B(-1)^{3} & \rightarrow & B=-2 \\ A(1)&=-4&=E(1)^{2} & \rightarrow & E=-4 \end{align}\]
El monomio de mayor grado de \(A(x)\) es \(6x^{2}\), lo hallamos en su expresión en (1):
\[\begin{align} 6x^{4} = & Ax^{4}+ ... \\& +Bx^{3}+ ...\\& +Cx^{4} \\& +Dx^{3}+ ... \\& +Ex^{2} + ... \end{align}\]
Y por lo tanto, \(A+C=6\).
Nos faltan dos ecuaciones que encontramos dando valores a \(x\).
\[\begin{align} A(-1)= &36=8A-8B+4C-2D+E \\&36=8A+16+4C-2D-4\\&24=8A+4C-2D\\&4A+2C-D=12\end{align}\]
\[\begin{align} A(2)= &12=2A+B+4C-4D+4E \\&12=2A-2+4C+4D-16\\&30=2A+4C+4D\\&A+2C+2D=15\end{align}\]
Hemos obtenido el sistema lineal de tres ecuaciones y tres incóñitas:
\[\left\{\begin{aligned} 4A&+2C&-D&=12 \\ A&+2C&+2D&=15 \\ A &+C&&=6 \end{aligned}\right.\]
Cuya única solución es \(A=1, C=5, D=2\).
\[ \begin{align} \int \frac{A(x)}{B(x)} dx &=\int \frac{1}{x}dx-2\int \frac{1}{x^{2}}dx+5\int\frac{1}{x-1}dx+2\int \frac{1}{(x-1)^{2}}dx-4\int\frac{1}{(x-1)^{3}}dx \\&=ln|x|+\frac{2}{x}+5ln|x-1|-\frac{2}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}+ K \end{align}\]
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