Proposición
Llamamos proposición un enunciado que puede tener como valor "verdadero" o "falso".
Si el enunciado depende de una variable \(x\) perteneciente a un determinado conjunto, notamos la proposición: \(p(x)\).
Ejemplo:
La proposición \(p(x):\;x\in\mathbb{N}\)
donde \(x\) es una variable real est verdadera para \(x=0\) y falsa para \(x=\sqrt{2}\).
Conector lógico de la negación:
Dada una proposición \(p\), llamamos negación de \(p\) y notamos \(\neg p\), una nueva proposición que es verdadera cuando \(p\) es falsa y falsa cuando \(p\) es verdadera.
Conector lógico "y":
Dadas dos proposiciones \(p\) y \(q\), la proposición "\(p \,y\, q\)", que notamos a veces \(p . q\) o también \(p \wedge q\) que es verdadera si y sólo si las dos proposiciones iniciales son ambas verdaderas.
Ejemplo:
Para \(x\in \mathbb{R}\), consideramos las proposiciones:
\[\left\{\begin{matrix} p(x): \; x\geq 0 \\ q(x): \; x^{2}=1\end{matrix}\right.\]
La proposición \(p(x) \, y \, q(x)\) es verdadera si y sólo si \(x=1\).
Conector lógico "o":
La proposición " \(p \,o\, q\)", que notamos a veces \(p + q\) o también \(p \vee q\) es verdadera si y sólo si al menos una de las dos proposiciones iniciales es verdadera.
Conector lógico "o exclusivo":
La proposición " \(p \,\text{o exclusivo}\, q\)", que notamos a veces \(p \,\text{w}\, q\) es verdadera si y sólo si solamente una de las dos proposiciones iniciales es verdadera.
Ejemplo:
Para \(x\in \mathbb{R}\), consideramos nuevamente las proposiciones:
\[\left\{\begin{matrix} p(x): \; x\geq 0 \\ q(x): \; x^{2}=1\end{matrix}\right.\]
La proposición \(p \,w\, q\) es verdadera para \(x \in \{-1\}\cup [0,1[ \cup ]1,+\infty[\) y es falsa en el resto de \(\mathbb{R}\).
Conector lógico "implica":
La proposición "\(p\) implica \(q\)" que notamos a veces \(p\Rightarrow q\) es falsa si \(p\) es verdadera y \(q\) es falsa. Es verdadera en el resto de los casos.
Ejemplos para una variable \(x\) real:
La proposición \(x^{2}=1 \Rightarrow (x\in\{-1,1\})\) es verdadera para todos los valores de \(x\).
La proposición \(x^{2}=1 \Rightarrow (x\in\{-1,0,1\})\) es verdadera para todos los valores de \(x\).
La proposición \(x^{2}=1 \Rightarrow (x=1)\) es falsa para \(x=-1\) y es verdadera para el resto de valores de \(x\).
La proposición \(1+2=5 \Rightarrow \text{"Los extraterrestres existen"}\) es verdadera.
La proposición \(\text{"Los extraterrestres existen"} \Rightarrow 1+2=3\) es verdadera.
Conector lógico "equivale":
La proposición "\(p\) equivale a \(q\)" que notamos a veces \(p \Leftrightarrow q\) es verdadera si y solo si \(p\) y \(q\) tienen el mismo valor.
Ejemplos para una variable \(x\) real:
La proposición \(x^{2}=1 \Leftrightarrow (x\in\{-1,1\})\) es verdadera para todos los valores de \(x\).
La proposición \(x^{2}=1 \Leftrightarrow (x\in\{-1,0,1\})\) es verdadera para \(x\neq0\) y falsa si \(x=0\).
La proposición \(x^{2}=1 \Leftrightarrow (x=1)\) es falsa para \(x=-1\) y es verdadera para el resto de valores de \(x\).
\(p\) | \(q\) | \(\neg{ p}\) | \(\neg q\) | \(p \wedge q\) | \(p \vee q\) | \(p \text{w} q\) | \(p \Rightarrow q\) | \(p \Leftrightarrow q\) | \(\neg(p \wedge q)\) | \(\neg p \vee \neg q\) | \(\neg (p \vee q)\) | \(\neg p \wedge \neg q\) |
V | V | F | F | V | V | F | V | V | F | F | F | F |
V | F | F | V | F | V | V | F | F | V | V | F | F |
F | V | V | F | F | V | V | V | F | V | V | F | F |
F | F | V | V | F | F | F | V | V | V | V | V | V |
Propiedades
Sean \(p\), \(q\) y \(r\) tres proposiciones, tenemos:
Con dos proposiciones:
- \(p \wedge q \;\Leftrightarrow \; q \wedge p\) (comutatividad)
- \(p \vee q \;\Leftrightarrow \; q \vee p\) (comutatividad)
- \(p \text{w} q \;\Leftrightarrow \; q \text{w} p\) (comutatividad)
- \(\neg(\,\neg p \,)\;\Leftrightarrow\; p\)
- \(\neg(p \wedge q)\; \Leftrightarrow\; \neg p \vee \neg q\)
- \(\neg(p \vee q) \;\Leftrightarrow\; \neg p \wedge \neg q\)
- \(\neg(p \text{w} q) \;\Leftrightarrow\; (p \Leftrightarrow q)\)
- \((p \Rightarrow q)\;\Leftrightarrow \;(\neg q \Rightarrow \neg p)\) (es la contraposición)
- \((p \Rightarrow q) \;\Leftrightarrow \; (\neg p \vee q)\)
- \( \neg (p \Rightarrow q) \;\Leftrightarrow \; \neg (\neg p \vee q) \;\Leftrightarrow \; (p \wedge \neg q )\)
Con tres proposiciones:
- \((p \vee q) \vee r \;\Leftrightarrow \; p \vee (q \vee r)\) (asociatividad de "o")
- \((p \wedge q) \wedge r \;\Leftrightarrow \; p \wedge (q \wedge r)\) (asociatividad de "y")
- \((p \vee q) \wedge r \;\Leftrightarrow \; (p \wedge r) \vee (q \wedge r)\) (distributividad)
- \(p \wedge (q \vee r) \;\Leftrightarrow \; (p \wedge q) \vee (p \wedge r)\)(distributividad)
- \((p \wedge q) \vee r \;\Leftrightarrow \; (p \vee r) \wedge (q \vee r)\)(distributividad)
- \(p \vee (q \wedge r) \;\Leftrightarrow \; (p \vee q) \wedge (p \vee r)\)(distributividad)
- \(( (p\Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r) ) \;\Rightarrow\; (p \Leftrightarrow r) \) (transitividad)
- \(( (p\Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r) ) \;\Rightarrow\; (p \Rightarrow r) \) (transitividad)
- \(( (p\Leftrightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r) ) \;\Rightarrow\; (p \Rightarrow r) \)
- \(( (p\Rightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r) ) \;\Rightarrow\; (p \Rightarrow r) \)
Si deseamos resolver una ecuación, se puede trabajar por equivalencia, por ejemplo:
\[x^{2}=1 \;\Leftrightarrow \; x\in \{-1,1\}\]
O se puede trabajar por implicaciones en cuyo caso debemos verificar si los valores encontrados son verdaderamente soluciones de la ecuación:
\[x^{2}=1 \;\Rightarrow \; x\in \{-1,0,1\}\]
Y descartamos el valor \(0\).
Cuando se resuelve por equivalencias, hay que tener mucho cuidado con las implicaciones en el sentido \(\Leftarrow\) que deben verificarse sistematicamente. Muchas veces conviene separar las implicaciones, es decir, demostrar \(p\Rightarrow q\) y \(q \Rightarrow p\) para demostrar \(p \Leftrightarrow q\).
Atento, escribir:
\[\text{x cumple p} \Rightarrow \text{x cumple q}\]
No significa "\(\text{x cumple p}\) y por lo tanto \(\text{x cumple q}\)" sino que si \(x\) cumple \(p\) entonces cumple \(q\).
Eventualmente, tenemos:
\[\left\{ \begin{align} & \text{x cumple p} \Rightarrow \text{x cumple q} \\ &\text{x cumple p} \end{align}\right.\]
y concluimos: "\(\text{x cumple q}\)"
Cuando tenemos una serie de implicaciones:
\[\left\{ \begin{align} & p_{1} &\Rightarrow p_{2} \\ &&\Rightarrow p_{3} \\ &&\Rightarrow p_{4} \end{align}\right.\]
Las implicaciones:
\[\left\{ \begin{align} & p_{1} &\Rightarrow p_{2} \\ &p_{2}&\Rightarrow p_{3} \\ &p_{3}&\Rightarrow p_{4} \end{align}\right.\]
Deben ser verdaderas de forma independiente de las demás. Es decir que no se puede usar \(p_{1}\) para demostrar \(p_{3}\Rightarrow p_{4}\)
A modo de ejemplo, si resulta que \(p_{3} \Rightarrow p_{4}\) es falsa pero \( (p_{1} \wedge p_{3}) \Rightarrow p_{4} \) es verdadera, habrá que escribir:
\[\left\{ \begin{align} & p_{1} &\Rightarrow & p_{1} \wedge p_{2} \\ &&\Rightarrow & p_{1} \wedge p_{3} \\ &&\Rightarrow & p_{4} \end{align}\right.\]
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