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Proposición

Llamamos proposición un enunciado que puede tener como valor "verdadero" o "falso".

Si el enunciado depende de una variable

$x$ perteneciente a un determinado conjunto, notamos la proposición:

$p(x)$ .

Ejemplo:

La proposición

$p(x):\;x\in\mathbb{N}$

donde

$x$ es una variable real est verdadera para

$x=0$ y falsa para

$x=\sqrt{2}$ .

Conector lógico de la negación:

Dada una proposición

$p$ , llamamos negación de

$p$ y notamos

$\neg p$ , una nueva proposición que es verdadera cuando

$p$ es falsa y falsa cuando

$p$ es verdadera.

Conector lógico "y":

Dadas dos proposiciones

$p$ y

$q$ , la proposición "

$p \,y\, q$ ", que notamos a veces

$p . q$ o también

$p \wedge q$ que es verdadera si y sólo si las dos proposiciones iniciales son ambas verdaderas.

Ejemplo:

Para

$x\in \mathbb{R}$ , consideramos las proposiciones:

$\left\{\begin{matrix} p(x): \; x\geq 0 \\ q(x): \; x^{2}=1\end{matrix}\right.$

La proposición

$p(x) \, y \, q(x)$ es verdadera si y sólo si

$x=1$ .

Conector lógico "o":

La proposición "

$p \,o\, q$ ", que notamos a veces

$p + q$ o también

$p \vee q$ es verdadera si y sólo si al menos una de las dos proposiciones iniciales es verdadera.

Conector lógico "o exclusivo":

La proposición "

$p \,\text{o exclusivo}\, q$ ", que notamos a veces

$p \,\text{w}\, q$ es verdadera si y sólo si solamente una de las dos proposiciones iniciales es verdadera.

Ejemplo:

Para

$x\in \mathbb{R}$ , consideramos nuevamente las proposiciones:

$\left\{\begin{matrix} p(x): \; x\geq 0 \\ q(x): \; x^{2}=1\end{matrix}\right.$

La proposición

$p \,w\, q$ es verdadera para

$x \in \{-1\}\cup [0,1[ \cup ]1,+\infty[$ y es falsa en el resto de

$\mathbb{R}$ .

Conector lógico "implica":

La proposición "

$p$ implica

$q$ " que notamos a veces

$p\Rightarrow q$ es falsa si

$p$ es verdadera y

$q$ es falsa. Es verdadera en el resto de los casos.

Ejemplos para una variable

$x$ real:

La proposición

$x^{2}=1 \Rightarrow (x\in\{-1,1\})$ es verdadera para todos los valores de

$x$ .

La proposición

$x^{2}=1 \Rightarrow (x\in\{-1,0,1\})$ es verdadera para todos los valores de

$x$ .

La proposición

$x^{2}=1 \Rightarrow (x=1)$ es falsa para

$x=-1$ y es verdadera para el resto de valores de

$x$ .

La proposición

$1+2=5 \Rightarrow \text{"Los extraterrestres existen"}$ es verdadera.

La proposición

$\text{"Los extraterrestres existen"} \Rightarrow 1+2=3$ es verdadera.

Conector lógico "equivale":

La proposición "

$p$ equivale a

$q$ " que notamos a veces

$p \Leftrightarrow q$ es verdadera si y solo si

$p$ y

$q$ tienen el mismo valor.

Ejemplos para una variable

$x$ real:

La proposición

$x^{2}=1 \Leftrightarrow (x\in\{-1,1\})$ es verdadera para todos los valores de

$x$ .

La proposición

$x^{2}=1 \Leftrightarrow (x\in\{-1,0,1\})$ es verdadera para

$x\neq0$ y falsa si

$x=0$ .

La proposición

$x^{2}=1 \Leftrightarrow (x=1)$ es falsa para

$x=-1$ y es verdadera para el resto de valores de

$x$ .

$p$

$q$

$\neg{ p}$

$\neg q$

$p \wedge q$

$p \vee q$

$p \text{w} q$

$p \Rightarrow q$

$p \Leftrightarrow q$

$\neg(p \wedge q)$

$\neg p \vee \neg q$

$\neg (p \vee q)$

$\neg p \wedge \neg q$

Propiedades

Sean

$p$ ,

$q$ y

$r$ tres proposiciones, tenemos:

Con dos proposiciones:

$p \wedge q \;\Leftrightarrow \; q \wedge p$ (comutatividad)
$p \vee q \;\Leftrightarrow \; q \vee p$ (comutatividad)
$p \text{w} q \;\Leftrightarrow \; q \text{w} p$ (comutatividad)
$\neg(\,\neg p \,)\;\Leftrightarrow\; p$
$\neg(p \wedge q)\; \Leftrightarrow\; \neg p \vee \neg q$
$\neg(p \vee q) \;\Leftrightarrow\; \neg p \wedge \neg q$
$\neg(p \text{w} q) \;\Leftrightarrow\; (p \Leftrightarrow q)$
$(p \Rightarrow q)\;\Leftrightarrow \;(\neg q \Rightarrow \neg p)$ (es la contraposición)
$(p \Rightarrow q) \;\Leftrightarrow \; (\neg p \vee q)$
$\neg (p \Rightarrow q) \;\Leftrightarrow \; \neg (\neg p \vee q) \;\Leftrightarrow \; (p \wedge \neg q )$

Con tres proposiciones:

$(p \vee q) \vee r \;\Leftrightarrow \; p \vee (q \vee r)$ (asociatividad de "o")
$(p \wedge q) \wedge r \;\Leftrightarrow \; p \wedge (q \wedge r)$ (asociatividad de "y")
$(p \vee q) \wedge r \;\Leftrightarrow \; (p \wedge r) \vee (q \wedge r)$ (distributividad)
$p \wedge (q \vee r) \;\Leftrightarrow \; (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$ (distributividad)
$(p \wedge q) \vee r \;\Leftrightarrow \; (p \vee r) \wedge (q \vee r)$ (distributividad)
$p \vee (q \wedge r) \;\Leftrightarrow \; (p \vee q) \wedge (p \vee r)$ (distributividad)
$( (p\Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r) ) \;\Rightarrow\; (p \Leftrightarrow r)$ (transitividad)
$( (p\Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r) ) \;\Rightarrow\; (p \Rightarrow r)$ (transitividad)
$( (p\Leftrightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r) ) \;\Rightarrow\; (p \Rightarrow r)$
$( (p\Rightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r) ) \;\Rightarrow\; (p \Rightarrow r)$

Si deseamos resolver una ecuación, se puede trabajar por equivalencia, por ejemplo:

$x^{2}=1 \;\Leftrightarrow \; x\in \{-1,1\}$

O se puede trabajar por implicaciones en cuyo caso debemos verificar si los valores encontrados son verdaderamente soluciones de la ecuación:

$x^{2}=1 \;\Rightarrow \; x\in \{-1,0,1\}$

Y descartamos el valor

$0$ .

Cuando se resuelve por equivalencias, hay que tener mucho cuidado con las implicaciones en el sentido

$\Leftarrow$ que deben verificarse sistematicamente. Muchas veces conviene separar las implicaciones, es decir, demostrar

$p\Rightarrow q$ y

$q \Rightarrow p$ para demostrar

$p \Leftrightarrow q$ .

Atento, escribir:

$\text{x cumple p} \Rightarrow \text{x cumple q}$

No significa "

$\text{x cumple p}$ y por lo tanto

$\text{x cumple q}$ " sino que si

$x$ cumple

$p$ entonces cumple

$q$ .

Eventualmente, tenemos:

$\left\{ \begin{align} & \text{x cumple p} \Rightarrow \text{x cumple q} \\ &\text{x cumple p} \end{align}\right.$

y concluimos: "

$\text{x cumple q}$ "

Cuando tenemos una serie de implicaciones:

$\left\{ \begin{align} & p_{1} &\Rightarrow p_{2} \\ &&\Rightarrow p_{3} \\ &&\Rightarrow p_{4} \end{align}\right.$

Las implicaciones:

$\left\{ \begin{align} & p_{1} &\Rightarrow p_{2} \\ &p_{2}&\Rightarrow p_{3} \\ &p_{3}&\Rightarrow p_{4} \end{align}\right.$

Deben ser verdaderas de forma independiente de las demás. Es decir que no se puede usar

$p_{1}$ para demostrar

$p_{3}\Rightarrow p_{4}$

A modo de ejemplo, si resulta que

$p_{3} \Rightarrow p_{4}$ es falsa pero

$(p_{1} \wedge p_{3}) \Rightarrow p_{4}$ es verdadera, habrá que escribir:

$\left\{ \begin{align} & p_{1} &\Rightarrow & p_{1} \wedge p_{2} \\ &&\Rightarrow & p_{1} \wedge p_{3} \\ &&\Rightarrow & p_{4} \end{align}\right.$

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