El portal de las matemáticas

Pertenencia e inclusión.

La relación de pertenencia se nota "

$in$ "
La relación de inclusión se nota "

$subset$ "

Sean

$A$ y

$B$ , dos subconjuntos de un conjunto

$E$ ,

$A\subset B\;\Leftrightarrow\; (\forall x\in E, x\in A \Rightarrow x\in B)$

$A=B \Leftrightarrow \left\{\begin{align} &A\subset B \\ &B\subset A\end{align}\right. \Leftrightarrow (\forall x\in E, \, x\in A \Leftrightarrow x\in B)$

Union de dos conjuntos,

La unión de los conjuntos

$A$ y

$B$ es el conjunto:

$A \cup B\; =\; \{x\in E\; / \; (x\in A \vee x\in B \}$

Intersección de dos conjuntos,

La intersección de los conjuntos

$A$ y

$B$ es el conjunto:

$A \cap B\; =\; \{x\in E\; / \; (x\in A \wedge x\in B \}$

Se dice de dos conjuntos que son disjuntos si y sólo si su intersección es el conjunto vacío.

Diferencia

La diferencia de los conjuntos

$A$ y

$B$ es el conjunto:

$A \setminus B\; =\; \{x\in E\; / \; (x\in A \wedge x\notin B \}$

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de los conjuntos

$A$ y

$B$ es el conjunto:

$\begin{align} A \bigtriangleup B & =\; (A\setminus B)\cup(B\setminus A) \\& =\; \{x\in E\; / \; (x\in A \text{ w } x\in B \}\end{align}$

Complementario

Sea

$A$ un subconjunt de

$E$ ,

El complementario de

$A$ en

$E$ es el conjunto:

$E\setminus A= \{x\in E / x\notin A \}$

Este conjunto se nota también

$\overline{A}$ cuando no existe confusión posible sobre

$E$ .

Propiedades

Sean

$A$ ,

$B$ y

$C$ , tres subconjuntos de un conjunto

$E$ , tenemos:

$A\cap A=A\cup A=A$

$A\cap E= A$

$A\cup E=E$

$A\cap \varnothing=\varnothing$

$A\cup \varnothing=A$

$A\cap B \subset A$

$A\subset (A\cup B)$

$A\setminus B=A \cap \overline{B}$

$A \bigtriangleup B=(A\cap \overline{B})\cup(\overline{A}\cap B)=(A\cup B)\setminus(A \cap B)$

$A \bigtriangleup A= \varnothing$

$A \bigtriangleup \varnothing= A$

$A \bigtriangleup E= \overline{A}$

$\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$

$\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$

$A \cup B)\cup C=A \cup (B\cup C)$ (asociatividad de

$\cup$ )

$A \cap B)\cap C=A \cap (B\cap C)$ (asociatividad de

$\cap$ )

$A \bigtriangleup B)\bigtriangleup C=A \bigtriangleup (B\bigtriangleup C)$ (asociatividad de

$\bigtriangleup$ )

$A \cap (B \cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)$

$A \cup (B \cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)$

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