Pertenencia e inclusión.

La relación de pertenencia se nota "\(in\)"
La relación de inclusión se nota "\(subset\)"

Sean \(A\) y \(B\), dos subconjuntos de un conjunto \(E\),

\[A\subset B\;\Leftrightarrow\; (\forall x\in E, x\in A \Rightarrow x\in B)\]

\[A=B \Leftrightarrow \left\{\begin{align}  &A\subset B \\ &B\subset A\end{align}\right. \Leftrightarrow (\forall x\in E, \, x\in A \Leftrightarrow x\in B)\]

Union de dos conjuntos,

La unión de los conjuntos \(A\) y \(B\) es el conjunto:

\[A \cup B\; =\; \{x\in E\; / \; (x\in A \vee x\in B \}\]

Intersección de dos conjuntos,

La intersección de los conjuntos \(A\) y \(B\) es el conjunto:

\[A \cap B\; =\; \{x\in E\; / \; (x\in A \wedge x\in B \}\]

Se dice de dos conjuntos que son disjuntos si y sólo si su intersección es el conjunto vacío.

Diferencia

La diferencia de los conjuntos \(A\) y \(B\) es el conjunto:

\[A \setminus B\; =\; \{x\in E\; / \; (x\in A \wedge x\notin B \}\]

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de los conjuntos \(A\) y \(B\) es el conjunto:

\[  \begin{align}   A \bigtriangleup B & =\; (A\setminus B)\cup(B\setminus A) \\& =\; \{x\in E\; / \; (x\in A \text{ w } x\in B \}\end{align}\]

Complementario

Sea \(A\) un subconjunt de \(E\),

El complementario de \(A\) en \(E\) es el conjunto:

\[E\setminus A= \{x\in E / x\notin A \}\]

Este conjunto se nota también \(\overline{A}\) cuando no existe confusión posible sobre \(E\).

Propiedades

Sean \(A\), \(B\) y \(C\), tres subconjuntos de un conjunto \(E\), tenemos:

\(A\cap A=A\cup A=A\)
\(A\cap E= A\)
\(A\cup E=E\)
\(A\cap \varnothing=\varnothing\)
\(A\cup \varnothing=A\)
\(A\cap B \subset A\)
\(A\subset (A\cup B)\)
\(A\setminus B=A \cap \overline{B}\)
\(A \bigtriangleup B=(A\cap \overline{B})\cup(\overline{A}\cap B)=(A\cup B)\setminus(A \cap B)\)
\(A \bigtriangleup A= \varnothing\)
\(A \bigtriangleup \varnothing= A\)
\(A \bigtriangleup E= \overline{A}\)
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
\(A \cup B)\cup C=A \cup (B\cup C)\) (asociatividad de \(\cup\))
\(A \cap B)\cap C=A \cap (B\cap C)\) (asociatividad de \(\cap\))
\(A \bigtriangleup B)\bigtriangleup C=A \bigtriangleup (B\bigtriangleup C)\) (asociatividad de \(\bigtriangleup\))
\(A \cap (B \cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)\)
\(A \cup (B \cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)\)


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