El portal de las matemáticas

$\newcommand{\inter}{\cap}$

$\newcommand{\union}{\cup}$

$\newcommand{\impl}{\Rightarrow}$

$\newcommand{\partes}{\mathcal{P}}$

$\newcommand{\cv}{\varnothing}$

Partes de un conjunto

$E$

Una parte de un conjunto es un subconjunto de dicho conjunto.

Notamos

$\partes (E)$ el conjunto de todas las partes (todos los subconjuntos) de

$E$ .

Si

$E=\cv$ , tendremos

$\partes(E)=\{\cv\}$
Si

$E=\{a\}$ , tendremos

$\partes(E)=\{\cv, \{a\}\}$
Si

$E=\{a,b\}$ , tendremos

$\partes(E)=\{\cv, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}$
etc...

Partición de un conjunto

$E$

Sea

$\mathcal{S}$ un subconjunto de

$\partes(E)$ , (atento, cada elemento de

$\mathcal{S}$ es un subconjunto de

$E$ , no un elemento de

$E$ ).

$\mathcal{S}$ es una partición de

$E$ si y sólo si:

$\left\{\begin{align} &\forall X\in \mathcal{S}, X\neq \cv \\ &\forall x\in E,\;\exists X\in \mathcal{S}/x\in X \\ & \forall X\in\mathcal{S},\forall Y\in\mathcal{S},\; X\neq Y \impl X \inter Y =\cv \end{align}\right.$

Es decir que ninguno de los elementos de

$\mathcal{S}$ es el conjunto vacío,

$\mathcal{S}$ es un recubrimiento de

$E$ y los elementos de

$\mathcal{S}$ son dos a dos disjuntos.

Si

$E=\{a,b\}$ , entonces

$\mathcal{S}=\{\{a\},\{b\}\}$ es una partición de

$E$ .
Si

$E$ no es el conjunto vacío, entonces

$\mathcal{S}=\{E\}$ es una partición de

$E$ .
Si

$A$ es un subconjunto no vacío de

$E$ , entonces

$\mathcal{S}=\{A,\overline{A}\}$ es una partición de

$E$ .
Si

$A$ y

$B$ son dos subconjuntos de

$E$ tales que ninguno de los conjuntos

$A\setminus B$ ,

$A\inter B$ y

$B\setminus A$ es el conjunto vacío, entonces

$\mathcal{S}=\{A\setminus B,A\inter B, B\setminus A\}$ es una partición de

$A\union B$ .

Ejercicio: Buscar todas las particiones de un conjunto de 3, 4 o 5 elementos.

Seguiré...

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